Filiations radioactives
Partie
Question
Un radionucléide \(^{238}_{92}\textrm{U}\) par désintégrations successives de types \(\alpha\) et \(\beta^{-}\) conduit au \(^{226}_{88}\textrm{Ra}\) lui-même radioactif.
Ce dernier, par des processus analogues de désintégrations, donne \(^{206}_{82} \textrm{Pb}\), isotope non radioactif stable.
Le nombre de noyaux désintégrés par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux \(N_{i}\) présent ( \(\lambda_{i}\) constante radioactive du radionucléide ).
Schéma : \(^{238}_{92} \textrm{U}~( N_{1} (t), \lambda_{1}) \longrightarrow ^{226}_{88} \textrm{Ra}~( N_{2} (t), \lambda_{2}) \longrightarrow ^{206}_{82}\textrm{Pb}~( N_{3} (t) )\) (Processus de désintégration)
Ecrire les équations différentielles du 1° ordre pour les désintégrations de ces nucléides.
Aide simple
Si \(N_{1}\) est le nombre d'atomes radioactifs au temps \(t\) et \(N+\textrm{d}N\) le nombre à l'instant \(t+\textrm{d}t\), alors \(\textrm{d}N\) est négatif pour une telle désintégration.
Aide détaillée
Le nombre d'atome désintégré pendant \(\textrm{d}t\) vaut : \(-\textrm{d}N = \lambda N~\textrm{d}t\)
Solution simple
Dans le cas de l'Uranium (\(\textrm{U}\)) nous avons : \(\frac{\textrm{d} N_{1} }{\textrm{d} t} = -\lambda_{1} N_{1}\)
Solution détaillée
Equation différentielle régissant la désintégration de ces nucléides : \(\frac{\textrm{d} N_{1}}{\textrm{d}t} = -\lambda_{1} N_{1}\) ; \(\frac{\textrm{d} N_{2}}{\textrm{d}t} = +\lambda_{1} N_{1} - \lambda_{2} N_{2}\) ; \(\frac{\textrm{d} N_{3}}{\textrm{d}t} = +\lambda_{2} N_{2}\)
Question
Un radionucléide \(^{238}_{92}\textrm{U}\) par désintégrations successives de types \(\alpha\) et \(\beta^{-}\) conduit au \(^{226}_{88}\textrm{Ra}\) lui-même radioactif.
Ce dernier, par des processus analogues de désintégrations, donne \(^{206}_{82} \textrm{Pb}\), isotope non radioactif stable.
Le nombre de noyaux désintégrés par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux \(N_{i}\) présent ( \(\lambda_{i}\) constante radioactive du radionucléide ).
Schéma : \(^{238}_{92} \textrm{U}~( N_{1} (t), \lambda_{1}) \longrightarrow ^{226}_{88} \textrm{Ra}~( N_{2} (t), \lambda_{2}) \longrightarrow ^{206}_{82}\textrm{Pb}~( N_{3} (t) )\) (Processus de désintégration)
Déterminez l'équation différentielle du 2° ordre vérifiée par \(N_{3}(t)\), sachant que \(N_{1}(0) = N_{0}\) et \(N_{2}(0) = N_{3} = 0\).
Aide simple
Il faut partir de la dérivation par rapport au temps de l'équation différentielle \(\frac{\textrm{d}N_{3}}{\textrm{d}t} = +\lambda_{2} N_{2}\).
Aide détaillée
Remplacer \(N_{i}\) dans l'expression obtenue sachant qu'à tout instant \(t\) : \(N_{1} + N_{2} + N_{3} = N_{0}\).
Solution simple
Equation différentielle du 2° ordre en \(N_{3}(t)\) : \(\frac{\textrm{d}^{2} N_{3}}{\textrm{d} t^{2}} + ( \lambda_{1} + \lambda_{2} )~\frac{\textrm{d} N_{3} }{\textrm{d} t} + \lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} = \lambda_{1} \lambda_{2} N_{0}\)
Solution détaillée
Dérivons par rapport au temps \(\frac{\textrm{d} N_{3}}{\textrm{d}t}\), d'où :
\(\frac{\textrm{d}^{2}N_{3}}{\textrm{d}t^{2}} = \lambda_{2} \frac{\textrm{d} N_{2}}{\textrm{d}t} = \lambda_{2} ( \lambda_{1} N_{1} - \lambda_{2} N_{2} ) = \lambda_{1} \lambda_{2} N_{1} - \lambda_{2} \left( \frac{\textrm{d} N_{3}}{\textrm{d}t} \right)\);
or, \(N_{1} + N_{2} + N_{3} = N_{0} \Rightarrow N_{1} = N_{0} - N_{3} - \frac{1}{\lambda_{2}} \frac{\textrm{d} N_{3}}{\textrm{d}t}\);
d'où \(\frac{\textrm{d}^{2}N_{3}}{\textrm{d}t^{2}} = \lambda_{1} \lambda_{2} \left( N_{0} - N_{3} - \frac{1}{\lambda_{2}} \frac{\textrm{d} N_{3}}{\textrm{d}t} \right) - \lambda_{2} \frac{\textrm{d} N_{3}}{\textrm{d}t}\);
et \(\frac{\textrm{d}^{2}N_{3}}{\textrm{d}t^{2}} + (\lambda_{1} + \lambda_{2}) \frac{\textrm{d}N_{3}}{\textrm{d}t} + \lambda_{1} \lambda_{2} N_{3} = \lambda_{1} \lambda_{2} N_{0}\).
Question
Un radionucléide \(^{238}_{92}\textrm{U}\) par désintégrations successives de types \(\alpha\) et \(\beta^{-}\) conduit au \(^{226}_{88}\textrm{Ra}\) lui-même radioactif.
Ce dernier, par des processus analogues de désintégrations, donne \(^{206}_{82} \textrm{Pb}\), isotope non radioactif stable.
Le nombre de noyaux désintégrés par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux \(N_{i}\) présent ( \(\lambda_{i}\) constante radioactive du radionucléide ).
Schéma : \(^{238}_{92} \textrm{U}~( N_{1} (t), \lambda_{1}) \longrightarrow ^{226}_{88} \textrm{Ra}~( N_{2} (t), \lambda_{2}) \longrightarrow ^{206}_{82}\textrm{Pb}~( N_{3} (t) )\) (Processus de désintégration)
En déduire l'expression de \(N_{3}(t)\)
Aide simple
Trouvez les racines de l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle du 2° ordre en \(N_{3}(t)\)
Aide détaillée
Connaissant les racines de l'équation caractéristique, exprimez la solution générale de l'équation différentielle homogène qui comprendra deux constantes d'intégration et lui ajouter une solution particulière de l'équation complète.
Solution simple
Equation caractéristique : \(r^{2} + (\lambda_{1} + \lambda_{2})r + \lambda_{1} \lambda_{2} = 0\)
Qui admet les racines \(r_{1} = - \lambda_{1}\) et \(r_{2} = - \lambda_{2}\)
Solution générale de l'équation homogène : \(N_{3g} = K_{1} e^{- \lambda_{1} t} + K_{2} e^{- \lambda_{2} t}\);
Solution particulière de l'équation complète : \(N_{3p} = N_{0}\);
Solution générale de l'équation complète sachant que :
\(N_{1}(0) = N_{0},~N_{2}(0) = N_{3}(0) = 0\)
\(N_{3}(t) = N_{0} \left( 1 - \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}} e^{-\lambda_{1} t} + \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}} e^{-\lambda_{2} t} \right)\)
Solution détaillée
L'équation caractéristique : \(r^{2} + (\lambda_{1} + \lambda_{2})r + \lambda_{1} \lambda_{2} = 0\) admet pour racines \(r_{1} = - \lambda_{1}\) et \(r_{2} = - \lambda_{2}\)
La solution générale de l'équation homogène est donc : \(N_{3g} = K_{1} e^{- \lambda_{1} t} + K_{2} e^{- \lambda_{2} t} ; (K_{1} \in \mathbb{R}, K_{2} \in \mathbb{R})\);
La solution particulière est évidente : \(N_{3p} = N_{0}\);
D'où la solution générale de l'équation complète : \(N_{3} = K_{1} e^{- \lambda_{1} t} + K_{2} e^{- \lambda_{2} t} + N_{0}\);
Détermination des constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales :
\(N_{3}(0) = 0 \Leftrightarrow 0 = K_{1} + K_{2} + N_{3}\qquad(1)\)
\(N_{2}(0) = 0 \Rightarrow \frac{\textrm{d}N_{3}}{\textrm{d}t} = 0 \Leftrightarrow 0 = K_{1} \lambda_{1} + K_{2} \lambda_{2} \qquad (2)\)
Des relations \((1)\) et \((2)\), nous tirons \(K_{1} = - N_{0} \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}}\) et \(K_{2} = N_{0} \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}}\).
D'où \(N_{3}(t) = N_{0} \left( 1 - \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}} e^{-\lambda_{1} t} + \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}} e^{-\lambda_{2} t} \right)\).