Résonance mécanique

Partie

Question

Une masse \(m\) est suspendue à l'extrémité inférieur \(M\) d'un ressort de constante de rigidité \(k\).

La position de la masse oscillante sur un axe vertical est repérée par son ordonnée \(Z(t)\), l'origine étant prise à sa position d'équilibre.

A l'instant \(t = 0\), l'extrémité supérieur \(A\) du ressort est soumise à une élongation verticale \(Z_{0} = Z_{0m} \cos{\omega}~t\).

Établir l'équation différentielle du mouvement de la masse.

Aide simple

Appliquer le Principe Fondamentale de la Dynamique (P.F.D.).

Aide détaillée

D'après le P.F.D. nous avons : \(m~\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} = \sum{\textrm{forces appliquées}}\)

Solution simple

Équation différentielle du mouvement de la masse :

\(m~\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} = - kz = kz_{0m} \cos{w}~t \Longleftrightarrow \frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} + 4z = 2 \cos{w}~t\)

Solution détaillée

D'après le Principe Fondamental de la Dynamique \(m~\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} = - k (z - z_{0}) \Longleftrightarrow m \frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} + kz = kz_{0m} \cos{w}~t\)

Divisons par \(m\) et posons \(\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}\) dans cette équation, d'où : \(\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} + \omega_{0}^{2}~z = \omega_{0}^{2}~z_{0m} \cos{w}~t\),

et \( \frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} + 4z = 2 \cos{w}~t\)

Question

Une masse \(m\) est suspendue à l'extrémité inférieur \(M\) d'un ressort de constante de rigidité \(k\).

La position de la masse oscillante sur un axe vertical est repérée par son ordonnée \(Z(t)\), l'origine étant prise à sa position d'équilibre.

A l'instant \(t = 0\), l'extrémité supérieur \(A\) du ressort est soumise à une élongation verticale \(Z_{0} = Z_{0m} \cos{\omega}~t\).

Pour \(\omega \neq 2\), déterminez l'élongation \(z_{1}(t)\) de la masse \(m\) sachant qu'à \(t = 0\), celle-ci est au repos à sa position d'équilibre.

Donner « l'allure » de la courbe représentative de \(z_{1}(t)\).

Aide simple

Appliquer la méthode de résolution des équations différentielles linéaire du 2° ordre

Aide détaillée

Déterminer les racines de l'équation caractéristique et en déduire la solution générale de l'équation différentielle homogène.

La solution particulière de l'équation complète se cherche sous la même forme que le second membre.

Les constantes d'intégration sont obtenues par application des conditions initiales.

Solution simple

L'équation caractéristique \(r^{2} + 4 = 0\) admet les racines \(r_{1} = - j^{2}\) et \(r_{2} = j^{2}\), d'où la solution de l'équation différentielle \(\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} + 4z_{1} = 0 \Rightarrow z_{1}(t) = \textrm{A} \cos{2t} + \textrm{B} \sin{2t}\).

Solution particulière de l'équation complète : \(\frac{\textrm{d}^{2}z}{\textrm{d}t^{2}} + 4z_{1} = 2 \cos{\omega} \Rightarrow z_{1p} (t) \frac{2}{4 - \omega^{2}} \cos{w}~t\).

Solution générale de l'équation différentielle complète conduit par l'application des conditions initiales à : \(z_{1} (t) \frac{2}{4 - \omega^{2}} ( \cos{w}~t - \cos{2t} ) = \frac{4}{4 - \omega^{2}} \sin{\left( \frac{2 + \omega}{2} \right)}t . \sin{\left( \frac{2 - \omega}{2} \right) }t\)

Solution détaillée

L'équation différentielle homogène \(\frac{\textrm{d}^{2}z_{1}}{\textrm{d}t^{2}} + 4z_{1} = 0\) a pour équation caractéristique \(r^{2} + 4 = 0\) qui admet les racines \(r_{1} = -j~2\) et \(r_{2} = + j~2\)

D'où la solution générale \(z_{1}(gt) = \textrm{A} \cos{2t} + \textrm{B} \sin{2t}\).

Cherchons la solution particulière \(z_{1}p(t)\) de l'équation différentielle complète sous la forme : \(z_{1}p(t) = \lambda \cos{\omega} t + µ \sin{\omega} t\),

avec \(z_{1}' p(t) = - \lambda~\omega \sin{\omega} t + µ~\omega \cos{\omega} t\)

et \(z_{1}" p(t) = - \omega^{2}~( \lambda~\cos{\omega} t + µ~\sin{\omega} t)\),

\(z_{1}" p(t) + 4z_{1} p(t) = ( 4- \omega^{2})\lambda~\cos{\omega}~t + ( 4- \omega^{2}) µ \sin{\omega}~t = 2 \cos{\omega}~t\),

par identification : \(\lambda = \frac{2}{4 - \omega^{2}}\) et \(µ = 2\),

d'où \(z_{1}(t) = z_{1} g(t) + z_{1} p(t) = \textrm{A} \cos{2t} + \textrm{B} \sin{2t} + \frac{2}{4 - \omega^{2}} \cos{\omega t}\).

Application des conditions initiales :

\(z_{1}(0) = 0 \Leftrightarrow 0 = \textrm{A} + \frac{2}{4 - \omega^{2}} \Rightarrow \textrm{A} = - \frac{2}{4 - \omega^{2}}\)

\(z_{1}'(t) = -2 \textrm{A} \sin{2t} + 2 \textrm{B} \cos{2t} - \frac{2 \omega}{4 - \omega^{2}} \sin{\omega t}\)

et \(z_{1}'(0) = 0 \Leftrightarrow 0 = 2 \textrm{B} \Rightarrow \textrm{B} = 0\);

donc, \(z_{1} (t) \frac{2}{4 - \omega^{2}} ( \cos{w}~t - \cos{2t} ) = \frac{4}{4 - \omega^{2}} \sin{\left( \frac{2 + \omega}{2} \right)}t . \sin{\left( \frac{2 - \omega}{2} \right) }t\).

Question

Une masse \(m\) est suspendue à l'extrémité inférieur \(M\) d'un ressort de constante de rigidité \(k\).

La position de la masse oscillante sur un axe vertical est repérée par son ordonnée \(Z(t)\), l'origine étant prise à sa position d'équilibre.

A l'instant \(t = 0\), l'extrémité supérieur \(A\) du ressort est soumise à une élongation verticale \(Z_{0} = Z_{0m} \cos{\omega}~t\).

Pour \(\omega = 2\), déterminer l'élongation \(z_{2}(t)\) de la masse \(m\) dans les mêmes conditions initiales que pour \(\omega \neq 2\).

Aide simple

Donner « l'allure » de la courbe représentative de \(z_{2}(t)\).

Aide détaillée

Chercher la solution particulière sous la forme \(z_{2p} (t) = t~~(\epsilon \cos{2t} + \delta \sin{2t})\):

et déterminer les constantes \(\epsilon\) et \(\delta\) par identification.

La solution générale \(z_{2p}(t)\) est de la forme de \(z_{1p}(t)\).

Solution simple

Solution générale de l'équation différentielle homogène : \(\frac{\textrm{d}^{2} z_{2}}{\textrm{d} t^{2}} + 4 z_{2} = 2 \cos{2t} \Rightarrow z_{2p}(t) = t \sin{(t)} \cos{(t)} = \frac{t}{2} \sin{2t}\).

Solution générale de l'équation différentielle complète en tenant compte des conditions initiales : \(z_{2}(t) = \frac{t}{2} \sin{(2t)}\).

Solution détaillée

L'équation différentielle homogène : \(\frac{\textrm{d}^{2} z_{2}}{\textrm{d} t^{2}} + 4 z_{2} = 0\) admet pour solution générale : \(z_{2g}(t) = \textrm{C} \cos{(2t)} + \textrm{D} \sin{(2t)}~~( \textrm{C} \in \mathbb{R}, \textrm{D} \in \mathbb{R})\)

La solution particulière \(\frac{\textrm{d}^{2} z_{2}}{\textrm{d} t^{2}} + 4 z_{2} = 2 \cos{(2t)}\) est cherchée sous la forme : \(z_{2p}(t) = t~\Big( \epsilon \cos{(2t)} + \delta \sin{(2t)} \Big)\);

avec \(z_{2p}~'(t) = \epsilon \cos{(2t)} + \delta \sin{(2t)} + t~\Big( -2 \epsilon \sin{(2t)} + 2\delta \cos{(2t)} \Big)\),

et \(z_{2p}~"(t) = -4 \epsilon \sin{(2t)} + 4 \delta \cos{(2t)} - 4t~\Big( \epsilon \cos{(2t)} + \delta \sin{(2t)} \Big)\);

\(z_{2p}~"(t) + 4 z_{2p} (t) = -4 \epsilon \sin{(2t)} + 4 \delta \cos{(2t)} = 2 \cos{(2t)}\).

Par identification : \(\epsilon = 0\) et \(\delta = \frac{1}{2}\),

d'où \(z_{2}(t) = z_{2g}(t) + z_{2p}(t) = \textrm{C} \cos{(2t)} + \textrm{D} \sin{(2t)} + \frac{t}{2} \sin{(2t)}\).

Application des conditions initiales :

\(z_{2}(0) = 0 \Leftrightarrow 0 = \textrm{C}\)

et \(z_{2}'(t) = -2 \textrm{C}~\sin{(2t)} + 2\textrm{D} \cos{(2t)} + \frac{1}{2} \sin{(2t)} + t \cos{(2t)}\),

\(z_{2}~'(t) = \frac{t}{2} \sin{(2t)}\).