Équations Différentielles à coefficients variables sans 2ème membre
Partie
Question
Soit l'équation différentielle: \(xy" - (1 + x)y' + y = 0 \qquad (\textrm{E})\)
Déterminer le réel \(\alpha\) tel que \(y_{1} = e^{\alpha x}\) soit solution particulière de (\(\textrm{E}\))
Aide simple
Calculer \(y'_{1}\) et \(y"_{1}\) et vérifier l'équation \(x y_{1}" - (1+x)y_{1}' + y_{1} = 0\).
Aide détaillée
En portant \(y_{1} = e^{\alpha x}\), \(y_{1}' = \alpha e^{\alpha x}\) et \(y_{1}" = \alpha^{2} e^{\alpha x}\) dans (\(\textrm{E}\)), en déduire la valeur de \(\alpha\).
Solution simple
Par substitution de \(y_{1} = e^{\alpha x}\) dans l'équation différentielle (\(\textrm{E}\)), nous obtenons:
\(e^{\alpha x} (\alpha -1) (\alpha x -1) = 0\), équation vérifiée \(\forall x\), si \(\alpha = 1\).
D'où \(y_{1} = e^{x}\) est solution particulière de (\(\textrm{E}\))
Solution détaillée
Portons les expressions de \(y_{1}\), \(y_{1}'\) et \(y_{1}"\) dans (\(\textrm{E}\)) :
\(x (\alpha^{2} e^{\alpha x}) - (1 + x)(\alpha e^{\alpha x}) + e^{\alpha x} = 0\)
\(e^{\alpha x} \Big( x \alpha^{2} - \alpha - x \alpha + 1 \Big) = 0\)
\(e^{\alpha x} \Big( \alpha x ( \alpha - 1) - ( \alpha - 1) \Big) = 0\)
\(e^{\alpha x} (\alpha - 1) ( \alpha x - 1) = 0\)
Cette équation est vérifiée \(\forall x \in \mathbb{R}\), pour \(\alpha = 1\). Une solution particulière de (\(\textrm{E}\)) est de la forme: \(y_{1} = e^{x}\).
Question
Connaissant une solution particulière \(y_{1}(x)\) de l'équation différentielle (\(\textrm{E}\)), déterminer la solution générale de (\(\textrm{E}\)).
Aide simple
Chercher une deuxième solution particulière de l'équation différentielle (\(\textrm{E}\)) sous la forme:
\(y_{2}(x) = y_{1}(x)~z(x)\) où \(z(x)\) est une fonction à déterminer.
Aide détaillée
Déterminer \(y_{2}'(x)\) et \(y_{2}"(x)\) de la solution particulière \(y_{2}(x) = e^{x}~z(x)\).
En portant les expressions de ces fonctions dérivées dans (\(\textrm{E}\)), nous obtenons une équation différentielle linéaire du premier ordre par rapport à la fonction \(u(x) = z'(x)\).
Solution simple
En posant, l'équation \(y_{2}(x) = e^{x}~z(x)\quad(\textrm{E})\) devient :
\(xz" + (x-1)z' = 0 \Longleftrightarrow xu' + (x - 1)u = 0\), équation à variables séparables.
On a fait le changement de fonction \(u(x) = z'(x)\).
Par intégration, nous obtenons \(u(x) = xe^{-x}\), puis \(z(x) = \int~u(x)~\textrm{dx} = -(x + 1)e^{-x}\) et pour solution particulière : \(y_{2}(x) = e^{x}~z(x) = -(x + 1)\).
Solution détaillée
Cherchons une solution particulière sous la forme \(y_{2}(x) = e^{x}~z(x)\) d'où:
\(y_{2}'(x) = e^{x} \Big( z(x) + z'(x) \Big)\)
\(y_{2}"(x) = e^{x} \Big( z(x) + 2z'(x) + z"(x) \Big)\)
Portons ces expressions dans l'équation différentielle (\(\textrm{E}\)):
\(xe^{x} \Big( z(x) + 2z'(x) + z"(x) \Big) - (1 + x)e^{x} \Big( z(x) + z'(x) \Big) + e^{x}~z(x) = 0\)
Après simplification, sachant que \(e^{x} \neq 0\) pour \(x \in \mathbb{R}\), nous obtenons l'équation différentielle du 2ème ordre en \(z\):
\(xz"(x) + (x - 1)~z'(x) = 0\)
et du 1er ordre en \(u(x)\) par le changement \(u(x) = z'(x) : xu'(x) + (x - 1)u(x) = 0\)
Cette équation différentielle à variables séparables s'intègre directement par:
\(\int \frac{\textrm{du}}{u} = \int \left(-1 + \frac{1}{x} \right)~\textrm{dx} = - \int~\textrm{dx} + \int \frac{1}{x}~\textrm{dx}\)
\(\ln{|u|} = -x + \ln{|x|} \Leftrightarrow \ln{\left| \frac{u}{x} \right|} = -x\)
\(\left| \frac{u}{x} \right| = e^{-x}\) et \(u = x e^{-x}\)
On en déduit \(z(x)\) par intégration de la fonction \(u(x)\) :
\(z(x) = \int u(x)~\textrm{dx} = \int xe^{-x}~\textrm{dx} = -xe^{-x} - e^{-x} = -(x + 1)e^{-x}\)
La solution particulière \(y_{2}(x)\) sera: \(y_{2}(x) = - (x+1)\).
Connaissant deux solutions particulières de (\(\textrm{E}\)), la solution générale de l'équation différentielle de (\(\textrm{E}\)) est donc:
\(y(x) = K_{1}y_{1}(x) + K_{2}y_{2}(x) = K_{1}e^{x} + K_{2}(x + 1)\) avec \(K_{1}\) et \(K_{2} \in \mathbb{R}^{2}\)