La pseudo-période

On définit la pseudo-période \(T_1\) par :

\(T_1 = \frac{2 \pi}{\omega_1} = \frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}} = T_0 \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\lambda^2}{\omega_0^2}}}\)

On rappelle l'expression de la période propre : \(T_0 =\frac{2 \pi}{\omega_0}\).

Pour \(\omega_0\) donnée, la pseudo-période \(T_1\) est supérieure à la période propre \(T_0\) et elle augmente quand le coefficient d'amortissement croît. En effet, \(\omega_0^2 - \lambda^2 < \omega_0^2\) car \(\lambda>0\) et donc \(\frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}}> \frac{2 \pi}{\omega_0}\), soit \(T_1 > T_0\).

Cas de l'amortissement très faible :

Par définition l'amortissement très faible correspond à un coefficient d'amortissement \(\lambda\) très petit tel que \(\lambda \ll \omega_0\), dans ce cas \(T_1 \approx T_0\).

En effet, rappelons que \( ( 1\pm \varepsilon)^{\alpha} \approx 1 + \alpha \varepsilon\), pour \(\alpha \ll 1\) et \(\forall \alpha\), par suite :

\(\displaystyle{\left. \begin{array}{c c c} T_1 = T_0 \Big( 1 - \frac{\lambda^2}{\omega_0^2}\Big)^{-1/2} \\ T_1 \approx T_0 \Big(1 + \frac{1}{2}\frac{\lambda^2}{\omega_0^2} + ...\Big) \approx T_0 \end{array}\right]}\) ici \(\varepsilon = \frac{\lambda^2}{\omega_0^2} \ll 1\)