Le facteur de qualité

On définit le facteur de qualité \(Q\) par les expressions :

\(Q = \frac{\omega_0}{2 \lambda}\)

ou \(Q = \omega_0 \tau_r\)

Plus l'amortissement est faible, plus la qualité du système est grande. Or \(Q\) est d'autant plus grand, à \(\omega_0\) donné, que l'amortissement est faible, d'où le nom de facteur de qualité.

Il existe également deux autres définitions de \(Q\) liées :

  • l'une à l'énergie :

\(Q = -2 \pi \frac{E}{ \Delta E}\),

\(E = E (t_n)\) est l'énergie totale du système à l'instant \(t_n\), et \(\Delta E = E(t_n + T_1) - E(t_n)\) est l'énergie dissipée pendant la pseudo-période suivant \(t_n\).

  • l'autre à la bande passante en pulsation \(\Delta \Omega\) ou en fréquence \(\Delta f\) (quantités définies dans la ressource traitant des oscillations forcées, \(\Omega_r\) et \(f_r\) désignant respectivement la pulsation et la fréquence à la résonance) :

\(Q = \frac{\Omega_r}{\Delta \Omega} = \frac{f_r}{\Delta f}\)

Dans le cas de l'amortissement très faible (\(\lambda\ll\omega_0\)) :

On montre d'une part que : \( - 2 \pi \frac{E}{\Delta E} \approx \frac{\omega_0}{2 \lambda}\) et d'autre part que \(\Delta \Omega \approx 2 \lambda\) et \(\Omega_r \approx \omega_0\).

Il en résulte que les deux dernières définitions du facteur de qualité sont dans ce cas équivalentes à la définition donnée en premier :

\(Q = \frac{\omega_0}{2 \lambda}\) .

Notons qu'un grand nombre d'oscillateurs, principalement électriques, sont caractérisés par un amortissement très faible et la dernière définition de \(Q\) est utilisée.

Ordre de grandeur de Q pour différents systèmes