Calculs de densité volumique pour l'orbitale 1s
Durée : 10 mn
Note maximale : 6
Question
L'orbitale 1s d'un atome hydrogénoïde est la fonction :
\(\Psi_{1s}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3/2} \exp(-Z~r/\textrm{a}_{0})\)
Calculez, pour l'ion\(\textrm{He}^{+}\), la densité volumique de probabilité de présence en \(\AA^{-3}\) et en \(\textrm{Bohr}^{-3}\),
pour \(r = 0\), \(r= \textrm{a}_{0}\) et \(r= 2\textrm{a}_{0}\) .
On donne : \(\textrm{a}_{0} = \mathrm{0,529}\) \(\quad\) \(\AA = 1~ \textrm{Bohr}\)
Solution
Pour l'ion\(\textrm{He}^{+}\), le numéro atomique est Z = 2.
La densité volumique de probabilité de présence est :
\(\Psi_{1s}^{2}(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3} \exp(-2Z~r/\textrm{a}_{0})\)
On trouve alors en \(\AA^{-3}\):
pour \(r = 0\), \(\Psi_{1s}^{2}(0,\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3} = \mathrm{17,20} \AA^{-3}\)
pour \(r = \textrm{a}_{0}\), \(\Psi_{1s}^{2}(\textrm{a}_{0},\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3} \exp(-2Z ~) = \mathrm{0,315}\AA^{-3}\)
pour \(r =2 \textrm{a}_{0}\), \(\Psi_{1s}^{2}(2\textrm{a}_{0},\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{\textrm{a}_{0}}\bigg)^{3} \exp(-4Z ~) = \mathrm{0,0058}\AA^{-3}\)
Lorsque les distances sont exprimées en Bohr, on pose\(\textrm{a}_{0} = 1~\textrm{Bohr}\)et on trouve :
pour \(r = 0\), \(\Psi_{1s}^{2}(0,\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{1}\bigg)^{3} = \mathrm{2,546}~\textrm{Bohr}^{-3}\)
pour \(r = 1~\textrm{Bohr}\), \(\Psi_{1s}^{2}(1,\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{1}\bigg)^{3} \exp(-2Z ~) = \mathrm{0,0466}~\textrm{Bohr}^{-3}\)
pour \(r =2 ~\textrm{Bohr}\), \(\Psi_{1s}^{2}(2,\theta,\varphi) = \frac{1}{\pi}\bigg(\frac{Z}{1}\bigg)^{3} \exp(-4Z ~) = \mathrm{0,000854}~\textrm{Bohr}^{-3}\)