Convergence d'une suite vers un réel

Intuitivement la suite converge vers un réel si est petit quand est grand, ce qui veut dire "aussi petit que l'on veut" mais pas "de plus en plus petit".

Définition : Convergence d'une suite vers un réel

Soit une suite réelle et soit un réel ; on dit que converge vers quand tend vers si l'une des propriétés 1. 2. 3. équivalentes suivantes est vérifiée.

  1. Pour tout voisinage de , il existe un rang , tel que appartienne à pour tout entier supérieur ou égal à .

  2. Tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite sauf pour un nombre fini d'indices.

  3. Quel que soit , il existe tel que entraîne .

    Il est bien évident que l'entier dépend de la suite et de .

    Elle s'écrit en langage formalisé :

La propriété (c) peut être exprimée:

  • en représentation axiale

  • en représentation graphique

Complément : Les représentations

La propriété (c) exprime:

  • en représentation axiale qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes hors de l'intervalle ou encore que tous les pour appartiennent à l'intervalle ,

  • en représentation graphique qu'il n'y a qu'un nombre fini de points hors de la bande ou encore que tous les points pour appartiennent à la bande .

Remarque

On définit le même concept de limite en prenant indifféremment les inégalités   ou   et ou .

Exemple

Il s'agit non de donner une méthode d'étude des suites (les théorèmes efficaces seront vus ultérieurement), mais d'effectuer des calculs de l'entier en fonction de .

  1. La suite converge vers .

    Soit , on cherche un rang tel que l'on ait pour .

    Il suffit de prendre .

    Pour on a .

  2. La suite converge vers 0.

    La réalisation de la condition pour est plus difficile que dans le cas précédent car cette suite n'est pas monotone.

    On peut utiliser le fait que la suite est majorée par la suite et cette dernière suite vérifie pour .

    Il suffit alors de réaliser , soit avec .

    On peut donc prendre ; pour on a .

  3. Pour tout réel la suite des approximations décimales par défaut d'ordre converge vers .

    On a en effet d'où .

    On peut donc prendre ;

    pour on a .

Remarque

L'entier n'est, bien évidemment, pas unique, tout entier supérieur convient. On s'efforcera de chercher le "meilleur", c'est à dire le plus petit.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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