Suites tendant vers + l'infini ou - l'infini , suites sautantes

Parmi les suites divergentes, les suites qui tendent vers ou jouent un rôle particulier.

Leur comportement, dans certains cas, s'apparente à celui des suites convergentes.

Intuitivement la suite tend vers si est grand positif pour grand.

Définition : Suite tendant vers + l'infini

Soit une suite réelle ; on dit que tend vers quand tend vers si quelque soit le réel il existe un entier tel que entraîne .

Formellement on écrit :

Notation

On note ou encore , tout en remarquant l'ambiguité de cette notation, car une suite qui tend vers n'est pas convergente et il est préférable de réserver le symbole lim pour les suites convergentes.

On définit de façon analogue les suites qui tendent vers . On remarque que, dans la définition, l'inégalité s'interprète comme l'appartenance de à un voisinage de .

Les représentations

La définition exprime:

  • en représentation axiale qu'il n'existe qu'un nombre fini de termes en dehors de l'intervalle , ou encore tous les pour appartiennent à l'intervalle ,

  • en représentation graphique qu'il n'existe qu'un nombre fini de points en dehors de la bande encore que tous les points pour appartiennent à la bande .

Parmi les suites divergentes, le comportement des suites qui tendent vers ou est très différent de celui des suites comme ou (suites "sautantes") que l'on définit plus précisément de la façon suivante :

Définition : Suite sautante

On dit qu'une suite est une suite sautante s'il existe des réels  et tels que

  • pour une infinité de valeurs de ,

  • pour une infinité de valeurs de .

Les représentations

Cela s'exprime :

  • en représentation axiale :

  • en représentation graphique :

Pour la suite on prend par exemple et , pour la suite , et .

On montre que pour une suite divergente trois cas sont possibles :

  • est une suite sautante.

Légende :
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