Limite d'une suite

Le concept de limite se dégage de la proposition suivante :

Proposition

Si est une suite réelle convergente il existe un réel unique tel que converge vers quand tend vers .

Preuve

Il s'agit d'une démonstration par l'absurde.

On suppose qu'il existe deux réels distincts et tels que converge vers et converge vers .

Deux intervalles ouverts centrés respectivement en et et disjoints (par exemple et avec ) ne peuvent contenir tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

L'unicité du réel étant ainsi établie on peut lier et .

Définition

Si est une suite convergente, l'unique réel , tel que converge vers , s'appelle la limite de la suite et se note .

On notera désormais et on dira que la suite est convergente et a pour limite , plutôt que la suite converge vers .

Attention

On utilisera le symbole , seulement quand la convergence de la suite a été établie.

Remarque

Ces remarques portent sur la densité de dans et sur la vitesse de convergence.

Soient les suites

et pour tout réel la suite des approximations décimales par défaut d'ordre converge vers , des exemples du paragraphe précédent.

Les suites sont convergentes et ont pour limite 0.

Pour tout réel , la suite de rationnels constituée par ses approximations décimales par défaut est convergente et a pour pour limite . On a donc montré ainsi: Tout réel est limite d'une suite de rationnels et même de décimaux.

On retrouve la propriété : est dense dans (il s'agit d'une définition équivalente de la notion de densité cf cours sur les réels).

On remarque, sur ces exemples, que l'entier varie, pour de 2 à 201. La connaissance de permet d'avoir une idée de la vitesse de convergence de la suite.

On remarque également que l'on approche des nombres irrationnels comme avec la précision souhaitée grâce à des suites de rationnels.

Un bon algorithme est un algorithme qui "donne" beaucoup de décimales à chaque opération, ainsi la suite définie par , est convergente et a pour limite et le passage de à conduit à un doublement du nombre des décimales exactes; en effet les inégalités :

entraînent que, si l'on a , on en déduit .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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