Suites convergentes, suites divergentes
Définition

Soit une suite réelle ; on dit que est convergente (ou converge) s'il existe un réel tel que converge vers .

Sinon est divergente (ou diverge).

Une suite convergente est donc caractérisée par la proposition :

ainsi les suites et

sont convergentes, le réel satisfait, pour chacune, à la condition.

Exprimer qu'une suite est divergente revient à exprimer que, pour tout réel, la suite ne converge pas vers ce réel ou encore écrire la négation de la proposition précédente :

et

ainsi la suite est divergente.

En effet : soit un réel,

  • si alors pour et on a .

  • si alors pour et ou on a .

La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dépend que de son comportement quand ; on dit encore à partir d'un certain rang. On peut en particulier modifier les termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.

Proposition

Toute suite convergente est bornée.

Preuve

Une valeur déterminée de donne un encadrement de pour . On en déduit une majoration de pour tout .

Soit une suite qui converge vers un réel .

On prend , il existe tel que pour tout on ait soit

,

d'où .

En posant alors , on a .

La réciproque est bien évidemment fausse.

C'est ce que montre l'exemple de la suite . On utilise cette proposition pour montrer la divergence de certaines suites. Ainsi la suite est divergente, il en est de même pour la suite .

Légende :
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