Suites convergentes, suites divergentes

Définition

Soit \((u_n)\) une suite réelle ; on dit que \((u_n)\) est convergente (ou converge) s'il existe un réel \(l\) tel que \((u_n)\) converge vers \(l\).

Sinon \((u_n)\) est divergente (ou diverge).

Une suite convergente est donc caractérisée par la proposition :

\(\displaystyle{\exists l\in\mathbb R,\forall\epsilon>0\quad\exists N\in\mathbb N,\forall n\in\mathbb N}\) \(\displaystyle{(n\geq N\Rightarrow\vert u_n-l\vert<\epsilon)}\)

ainsi les suites \(\displaystyle{\left(\frac{1}{n}\right)_{n\geq 1}}\) et \(\displaystyle\left(\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt n}\right)_{n\geq 2}\)

sont convergentes, le réel \(l\) satisfait, pour chacune, à la condition.

Exprimer qu'une suite est divergente revient à exprimer que, pour tout réel, la suite ne converge pas vers ce réel ou encore écrire la négation de la proposition précédente :

\(\displaystyle{\forall l\in\mathbb R,\exists\epsilon>0,\quad\forall N\in\mathbb N,\exists n\in\mathbb N}\) \(\displaystyle{(n\geq N}\) et \(\displaystyle\vert u_n-l\vert\geq \epsilon)\)

ainsi la suite \(\Big((-1)^n\Big)\) est divergente.

En effet : soit \(l\) un réel,

  • si \(l\neq\pm1\) alors pour \(\displaystyle{\epsilon=\textrm{min}(\vert l-1\vert,\vert l+1\vert)}\) et \(\displaystyle{n=N}\) on a \(\displaystyle{\vert u_{N}-l}\vert\geq \epsilon\).

  • si \(l=\pm1\) alors pour \(\displaystyle{\epsilon= 1}\) et \(\displaystyle{n=N}\) ou \(\displaystyle{N +1}\) on a \(\displaystyle{\vert u_n-l\vert\geq \epsilon}\).

La nature d'une suite (convergence ou divergence) ne dépend que de son comportement quand \(\displaystyle{n\to+\infty}\) ; on dit encore à partir d'un certain rang. On peut en particulier modifier les termes d'une suite pour un nombre fini d'indices sans en changer la nature.

Proposition

Toute suite convergente est bornée.

Preuve

Une valeur déterminée de \(\epsilon\) donne un encadrement de \(\vert u_n\vert\) pour \(n\ge N\). On en déduit une majoration de \(\vert u_n\vert\) pour tout \(n\) .

Soit \((u_n)\) une suite qui converge vers un réel \(l\) .

On prend \(\epsilon= +1\) , il existe \(N(1)\) tel que pour tout \(n\geq N(1)\) on ait \(\vert u_n-l\vert<1\) soit

\(\displaystyle{-1< u_n-l<1}\),

d'où \(\displaystyle{\vert u_n\vert<\vert l\vert+1}\).

En posant alors \(\displaystyle{M=\textrm{max}(\vert u_0\vert,\vert u_1\vert,\cdots,\vert u_{N(1)-1}\vert,\vert l\vert+1)}\), on a \(\displaystyle{\vert u_n\vert\leq M}\).

La réciproque est bien évidemment fausse.

C'est ce que montre l'exemple de la suite \(\Big((-1)^n\Big)\). On utilise cette proposition pour montrer la divergence de certaines suites. Ainsi la suite \(\Big(n^2+1\Big)\) est divergente, il en est de même pour la suite \(\Big(n\sin\frac{n\pi}{2}\Big)\).