Exercice 3

Durée : 12 mn

Note maximale : 9

Question

  1. Montrer que les deux suites de terme général \(\displaystyle{a_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}}\) et \(\displaystyle{b_n=a_n+\frac{1}{n.n!}}\), sont adjacentes.

    On appelle \(e\) leur limite commune.

  2. Montrer que \(e\) n'est pas rationnel.

    Pour \(x\) réel, on considère la suite de terme général \(u_n=\cos~(n!~\pi x)\).

  3. Montrer que si \(x\) est rationnel elle est convergente.

Solution

  1. La suite \(a_n\) est clairement croissante, on a \(\displaystyle{b_{n+1}-b_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+1)(n+1)!}-\frac{1}{n.n!}=\frac{-1}{n(n+1)(n+1)!}}\)

    donc \(b_n\) est décroissante. De plus \(\displaystyle{b_n-a_n=\frac{1}{n.n!}}\) est positif et tend vers 0 donc les suites sont adjacentes et convergent vers une limite commune : \(e\). On a l'inégalité \(a_n<e<b_n\).

    [2 points]

  2. Pour tout \(n\) , il existe donc un réel \(r_n\) tel que \(0<r_n<1\) et \(\displaystyle{e=a_n+\frac{r_n}{n.n!}}\). On en déduit que \(e\) n'est pas rationnel : s'il l'était, ce serait le quotient de deux entiers, on aurait \(\displaystyle{e=\frac{p}{q}}\), et prenant \(n=q\), on aurait \(\displaystyle{q!~e=p(q-1)!=\sum_{k=0}^q\frac{q!}{k!}+\frac{r_q}{q}}\) ce qui implique que \(\displaystyle{\frac{r_q}{q}}\) est un entier, non nul et inférieur (strictement) à 1, c'est absurde.

    [2 points]

  3. Si \(x\) est rationnel, c'est le quotient \(\displaystyle{\frac{p}{q}}\) de deux entiers. Pour \(\displaystyle{n\geq q,~\frac{n!}{q}}\) est un entier (pair si \(n\geq q+2\)). Il en résulte que pour \(n\geq q+2,~ u_n=1\), la suite est stationnaire (et convergente vers 1).

    [3 points]

  4. \(\displaystyle{\cos~2\pi e~n!=\cos\left(2\pi\frac{r_n}{n}\right)}\) tend vers 1 quand \(n\) tend vers l'infini et \(2e\) n'est pas rationnel puisque \(e\) ne l'est pas.

    [2 points]