Rang de matrices

Soient \(E\) et \(\mathcal F\) deux espaces de type fini sur un même corps \(\mathbf K\) et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(\mathcal F\).

Le rang de \(f\) est la dimension de l'image de \(f\). Il est intéressant de remarquer que, d'après cette définition, le rang de \(f\) ne dépend que de \(f\) et non pas de bases choisies sur \(E\) ou sur \(\mathcal F\).

Soient \(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_\textrm{dim E})\) et des bases de \(E\) et \(\mathcal F\) respectivement et \(\mathcal M\) la matrice associée à \(f\) par rapport à ces bases.

Alors :

• Les colonnes de \(\mathcal M\) sont formées des coordonnées des vecteurs \(f(e_j)\) sur la base \(\mathcal B_F\). Donc, d'après la définition du rang d'une matrice, le rang de \(\mathcal M\) est égal au rang de la famille de vecteurs \(f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_\textrm{dim E})\).

• Comme \(\mathcal B_E=(e_1,e_2,\cdots,e_\textrm{dim E})\) est une base de l'espace de départ de \(f\), l'image de \(f\) est engendrée par les vecteurs \(f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_\textrm{dim E})\). Donc la dimension de cette image est égale au rang de la famille de vecteurs \(f(e_1),f(e_2),\cdots,f(e_\textrm{dim E})\).

Cela permet donc d'énoncer la propriété suivante :

D'où, immédiatement