Caractérisation des matrices équivalentes par leur rang

On a vu que toutes les matrices associées à une même application linéaire ont même rang.

Ce résultat, et sa réciproque, vont être énoncés sous une autre forme en caractérisant les matrices associées à une même application linéaire.

Pour cela il est nécessaire de connaître les formules de changement de base et la notion de matrices équivalentes. Nous allons rappeler les résultats qui vont être utilisés.

Rappel

Les principaux résultats ou définitions qui seront utilisés sont les suivants :

Résultat 1 : Formule de changement de bases

Soient et deux -espaces vectoriels de type fini, et deux bases de , et et deux bases de . Soit une application linéaire de dans . Alors, la matrice associée à par rapport aux bases et , et la matrice associée à par rapport aux bases et sont liées par la formule :

Rappel de la notation : Si et sont des bases d'un même espace vectoriel est la matrice de passage de la base à la base . Définition : Deux matrices et de sont équivalentes s'il existe une matrice carrée d'ordre , inversible et une matrice carrée d'ordre , inversible telles que .

Résultat 2 :

Soit une matrice carrée d'ordre inversible. Etant donnée une base de , il existe une unique base de telle que soit la matrice de passage de à .

Conséquences des résultats 1 et 2 :

Multiplier à droite la matrice d'une application linéaire par une matrice inversible revient à changer de base sur l'espace de départ. Donc les matrices et , avec inversible, peuvent être considérées comme les matrices d'une même application linéaire avec deux bases différentes sur l'espace de départ et la même base sur l'espace d'arrivée.

De même, multiplier à gauche la matrice d'une application linéaire par une matrice inversible revient à changer de base sur l'espace d'arrivée. Donc les matrices et , avec inversible, peuvent être considérées comme les matrices d'une même application linéaire avec deux bases différentes sur l'espace d'arrivée et la même base sur l'espace de départ.

Cela conduit au résultat suivant :

Résultat 3 :

Deux matrices sont associées à une même application linéaire si et seulement si elles sont équivalentes.

Démonstration : Résultat 1 : Formule de changement de bases

Soient et deux -espaces vectoriels de type fini, et deux bases de , et et deux bases de . Soit une application linéaire de dans . Alors, la matrice associée à par rapport aux bases et , et la matrice associée à par rapport aux bases et sont liées par la formule :

Preuve

Soient et deux -espaces vectoriels de type fini, et deux bases de et deux bases de .

Soit une application linéaire de dans .

Il s'agit d'établir une relation entre les matrices associées à par rapport, d'une part aux bases et et d'autre part aux bases et , autrement dit entre et .

En utilisant, pour les deux espaces concernés, l'interprétation de la matrice de passage d'une base à une autre, en termes de matrice associée à l'application identique par rapport à des bases bien choisies, on a le schéma suivant

Sa traduction matricielle est

.

Or la matrice de l'identité de avec comme base de départ et comme base de l'espace d'arrivée est la matrice de passage de à , notée . De même, la matrice de l'identité de avec comme base de l'espace de départ et comme base de l'espace d'arrivée est la matrice de passage de à , soit l'inverse de la matrice de passage de à .

De plus, on a l'égalité : .

Démonstration : Résultat 2 : Interprétation d'une matrice carrée inversible comme la matrice de passage d'une base à une autre

Soit une matrice carrée d'ordre inversible. Etant donnée une base de , il existe une unique base de telle que soit la matrice de passage de à .

Preuve

Soit une base donnée de et soit l'endomorphisme de dont la matrice par rapport à la base (sur l'espace de départ et d'arrivée) est égale à , soit .

Comme est inversible, aussi, c'est donc une bijection. Les vecteurs images par un automorphisme d'une base de , déterminent donc une base.

Il vient alors la proposition suivante :

Proposition

Si deux matrices sont équivalentes, alors elles ont le même rang.

Cela découle immédiatement du résultat et du théorème liant le rang d'une application linéaire et d'une matrice associée.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)