Caractérisation des matrices carrées inversibles par une propriété de leur rang

On va étudier le cas particulier des matrices carrées d'ordre .

On a alors la propriété suivante :

Théorème : Matrice inversible et rang

Une matrice carrée d'ordre est inversible si et seulement si elle est de rang .

Ce résultat est immédiat. En effet :

  • Une matrice est inversible si et seulement si l'endomorphisme qui lui est associé par rapport à la base canonique est inversible.

  • Soit un endomorphisme d'un espace de dimension . On a les équivalences suivantes :

    est inversiblef est bijectiff est injectiff est surjectif le rang de est égal à .

  • Le rang d'une matrice est égal au rang de toute application linéaire qui lui est associée.

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