Caractérisation des matrices carrées inversibles par une propriété de leur rang
On va étudier le cas particulier des matrices carrées d'ordre \(n\).
On a alors la propriété suivante :
Théorème : Matrice inversible et rang
Une matrice carrée d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si elle est de rang \(n\).
Ce résultat est immédiat. En effet :
Une matrice est inversible si et seulement si l'endomorphisme qui lui est associé par rapport à la base canonique est inversible.
Soit \(f\) un endomorphisme d'un espace de dimension \(n\). On a les équivalences suivantes :
\(f\) est inversiblef\( \Leftrightarrow f\) est bijectiff \(\Leftrightarrow f\) est injectiff\( \Leftrightarrow f\) est surjectif \(\Leftrightarrow\) le rang de \(f\) est égal à \(n\).
Le rang d'une matrice est égal au rang de toute application linéaire qui lui est associée.