Caractérisation du rang d'une matrice à l'aide des sous-matrices inversibles
Définition : Matrice extraite d'une matrice
Soit \(\mathcal A\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Soient \(m\) et \(q\) deux entiers tels que \(0\leq m\leq n-1\) et \(0\leq q\leq p-1\). Une matrice obtenue en supprimant \(m\) lignes et \(q\) colonnes est appelée matrice extraite (ou sous-matrice) de \(\mathcal A\).
C'est un élément de\( \mathcal M_{n-m,p-q}(\mathbf K)\).
Exemple :
Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&1&1&0\\-1&-2&1&2&0\\0&0&2&3&1\\2&4&3&5&2\end{array}\right)\)
Alors les matrices suivantes sont des matrices extraites de \(\mathcal A\) :
\(\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\-1&0\\0&1\\2&2\end{array}\right)\)
\(m=0,q=3\) et les \(2^{\textrm{ième}},3^{\textrm{ième}}\) et \(4^{\textrm{ième}}\) colonnes ont été supprimées.
\(\left(\begin{array}{cccccc}0&2\\4&3\end{array}\right)\) \(m=2,q=3\) et les \(1^{\textrm{ère}},3^{\textrm{ième}}\) et \(4^{\textrm{ième}}\) colonnes ont été supprimées, ainsi que les \(1^{\textrm{ère}}\) et \(2^{\textrm{ième}}\) lignes.
\(\left(\begin{array}{cccccc}1&1&1&0\\0&2&3&1\\2&3&5&2\end{array}\right)\) \(m=1,q=1\) et la \(2^{\textrm{ième}}\)
colonne a été supprimée, ainsi que la \(2^{\textrm{ième}}\) ligne.
Proposition : Rang d'une matrice extraite
Soit \(\mathcal A\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Le rang d'une matrice extraite de \(\mathcal A\) est inférieur ou égal au rang de \(\mathcal A\).
Soit \(m\) et \(q\) des entiers tels que \(0\leq m\leq n-1\) et \(0\leq q\leq p-1\)et\( \mathcal B\) une matrice de type \(n-m,p-q\) extraite de la matrice \(\mathcal A\). Soit \(r\) le rang de \(\mathcal B\).
Cela signifie qu'il existe \(r\) vecteurs colonnes de \(\mathcal B,\mathcal B_{i_1},\mathcal B_{i_2},\cdots,\mathcal B_{i_r}\), , linéairement indépendants. La colonne \(\mathcal B_{i_5}\) est composée de termes de la colonne\( \mathcal A_{i_5}\) de la matrice \(\mathcal A\).
Alors, les vecteurs colonnes \(\mathcal A,\mathcal A_{i_1},\mathcal A_{i_2},\cdots,\mathcal A_{i_r}\) de \(\mathcal A\) sont linéairement indépendants. En effet, soient \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) des scalaires tels que \(\alpha_1\mathcal A_{i_1}+\alpha_2\mathcal A_{i_2}+\cdots+\alpha_r\mathcal A_{i_r}=0\).
Cette égalité implique immédiatement l'égalité \(\alpha_1\mathcal B_{i_1}+\alpha_2\mathcal B_{i_2}+\cdots+\alpha_r\mathcal B_{i_r}=0\) (le système qui traduit la deuxième égalité est un sous-système de celui qui traduit la première).
Comme les vecteurs colonnes \(\mathcal B,\mathcal B_{i_1},\mathcal B_{i_2},\cdots,\mathcal B_{i_r}\) sont linéairement indépendants, tous les coefficients sont nuls, soit \(\forall j,1\leq j\leq r,\alpha_j=0\) . Donc le rang de \(\mathcal A\) est supérieur ou égal à \(r\).
Le théorème suivant donne une caractérisation du rang d'une matrice
Théorème : Caractérisation du rang d'une matrice à l'aide des matrices extraites inversibles
Soit \(\mathcal A\) une matrice de \(\mathcal M_{n,p}(\mathbf K)\). Le rang de \(\mathcal A\) est égal au plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de cette matrice.
Concrètement, cela signifie que si \(r\) est le rang de \(\mathcal A\), les deux propriétés suivantes sont satisfaites :
Toute matrice carrée inversible, extraite de \(\mathcal A\), est d'ordre inférieur ou égal à \(r\).
Il existe une matrice carrée d'ordre \(r\), inversible, extraite de \(\mathcal A\).
Preuve :
Nous allons démontrer successivement ces deux propriétés
Premier point :
Soit \(\mathcal B\) une matrice carrée inversible, extraite de \(\mathcal A\). Soit \(q\) son ordre. Comme elle est inversible, son rang est égal à \(q\). Donc, d'après la proposition précédente, \(q\leq r\). Ce qui achève la démonstration du premier point.
Deuxième point :
Comme \(\mathcal A\) est de rang \(r\), il existe \(r\) vecteurs colonnes de \(\mathcal A\) linéairement indépendants. Soit \(\mathcal C\) la matrice extraite de \(\mathcal A\), obtenue en prenant ces \(r\) colonnes et en gardant toutes les lignes. Elle est de type \(n\times r\) et son rang est égal à \(r\).
Donc il existe \(r\) vecteurs lignes de \(\mathcal C\) linéairement indépendants. Alors la matrice extraite de\( \mathcal C\) en gardant ces r lignes et les \(r\) colonnes de \(\mathcal C\) est carrée, d'ordre \(r\) et de rang \(r\). Elle est donc inversible.
D'après la définition, c'est aussi une matrice extraite de \(\mathcal A\), ce qui achève la démonstration.