Position du problème

Lorsque est une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel et un vecteur de , on a défini l'orthogonal de par :

.

Il est possible, même lorsque est non dégénérée, que soit orthogonal à lui-même.

Exemple

Dans considérons les formes bilinéaires symétriques et définies pour tout et tout de par et

On a d'où si et seulement si . Donc, pour , le seul vecteur orthogonal à lui-même est le vecteur nul.

est la représentation graphique

des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour

On a d'où si et seulement si ou . Donc, pour , les vecteurs orthogonaux à eux-mêmes sont les vecteurs de la forme ou .

est la représentation graphique

des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour

Exemple

Dans considérons la forme bilinéaire symétrique définie pour tout et tout de par :

On a , d'où l'ensemble des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour est la surface de d'équation . Cette surface est un cône de révolution de sommet 0. Pour , le plan d'équation coupe ce cône suivant le cercle d'équation

est la représentation graphique de l'ensemble

des vecteurs orthogonaux à eux-mêmes pour

Ces situations nous conduisent à la notion de vecteur isotrope et de cône isotrope.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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