Propriété
Propriété : Stabilité du cône isotrope pour la multiplication par les scalaires
Soit \(x\) un vecteur du cône isotrope de \(f\). Pour tout scalaire \(\lambda\), le vecteur \(\lambda x\) est un vecteur du cône isotrope de \(f\).
Preuve : Preuve de la propriété
Soit \(x\) un vecteur du cône isotrope de \(f\). Pour tout scalaire \(\lambda\) on a \(f(\lambda x,\lambda x)=\lambda^2 f(x,x)=0\), donc le vecteur \(\lambda x\) est un élément du cône isotrope de \(f\).
Lorsque \(x\) est non nul, la droite vectorielle de vecteur directeur est incluse dans le cône isotrope de \(f\). Ceci justifie l'utilisation du mot cône pour désigner l'ensemble des vecteurs isotropes.
Remarque :
Un vecteur du noyau de \(f\) est orthogonal à tous les vecteurs de \(E\), donc en particulier à lui-même. Cela signifie que tous les vecteurs du noyau de \(f\) sont des vecteurs isotropes de \(f\).
Un vecteur isotrope est un vecteur qui est orthogonal à lui-même. En général il n'est pas orthogonal à tous les vecteurs de \(E\), autrement dit il n'est pas, en général, dans le noyau de \(f\). Dans les exemples précédents le vecteur \((x_1,x_1)\in\mathbf R^2\) est un vecteur isotrope de \(f_2\). Pourtant si \(x_1\) est non nul on a \(f((x_1,x_1),(x_1,-x_1))=2{x_1}^2\neq 0\), donc \(x_1,x_1\) n'est pas dans le noyau de \(f\).
Si tous les vecteurs de \(E\) sont isotropes pour \(f\), alors \(f\) est la forme bilinéaire nulle sur \(E\). En effet si \(x\) et \(y\) sont deux vecteurs de \(E\), des égalités :
\(\left\{\begin{array}{l}f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(y,y)+2f(x,y)\\f(x+y,x+y)=f(x,x)=f(y,y)=0\end{array}\right.\)
on déduit \(f(x,y)=0\).
En général le cône isotrope n'est pas un sous-espace vectoriel. Parmi les exemples précédents le cône isotrope de \(f_2\) est la réunion des droites vectorielles d'équations \(x_1-x_2=0\) et \(x_1+x_2=0\). Or la réunion de deux droites distinctes de \(\mathbf R^2\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbf R^2\). De même le cône isotrope \(f_3\) de n'est pas un sous-espace vectoriel de \(\mathbf R^3\).