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Intersection de sous-espaces vectoriels

Si et sont deux sous-espaces vectoriels de , leur intersection est aussi un sous-espace vectoriel de .

Si est une famille de sous-espaces vectoriels de , leur intersection est aussi un sous-espace vectoriel de ..

  • L'intersection n'est pas vide puisque chaque sous-espace contient l'élément nul 0 qui est donc dans l'intersection.

  • L'intersection de sous-espaces est stable par addition. Soient des vecteurs et . Pour chaque , comme et et comme est un sous-espace vectoriel alors , et donc .

  • L'intersection de sous-espaces est stable par multiplication par les scalaires.

  • Soit et . Comme chaque est un sous-espace vectoriel, si alors . Donc . Ce qui implique .

Attention, une réunion de sous-espaces d'un espace vectoriel n'est pas en général un sous-espace.

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