| Méthodes de détermination d'un sous-espace |
On désigne par
un des espaces
. Des sous-espaces vectoriels de cet espace vectoriel
peuvent être déterminés de bien des façons, mais il y en a deux qui sont essentielles :
déterminer un sous-espace par une base de ce sous-espace (par exemple "soit
le sous-espace de
ayant pour base
"),
déterminer un sous-espace par un ensemble d'équations (si possible indépendantes) dont les inconnues sont les coordonnées des vecteurs par rapport à une base donnée de
(par exemple "soit
le sous-espace de
déterminé par les équations
et
"). Comme variante de la première façon, on peut déterminer le sous-espace par un système générateur.
Suivant les questions posées à propos d'un ou plusieurs sous-espaces, l'une des deux descriptions peut être plus commode que l'autre.
Par exemple pour savoir si un vecteur, donné par ses coordonnées dans une base de
, appartient au sous-espace considéré, il est plus commode de connaître des équations caractérisant ce sous-espace (suivant la même base !) que de connaître une base de ce sous-espace (sauf si par miracle le vecteur faisait partie de ladite base !).
Pour décrire la somme de deux sous-espaces
et
de
, il est plus commode de connaître une base de chacun : la réunion des deux bases est un système générateur de
et il suit d'en extraire un système libre engendrant le même sous-espace.
Par contre pour décrire
, il est plus commode d'utiliser des équations... et pour savoir si
, il est pratique d'avoir une base (ou au moins un système générateur) de
et des équations de
On l'aura compris, il est donc important de savoir passer de 1. à 2. dans un sens ou dans l'autre. Cette situation a déjà été rencontrée et travaillée à propos des droites et des plans dans l'espace où les méthodes de détermination dépendaient du problème traité, discussion que nous avions vue sous la forme du passage d'une représentation implicite à une représentation paramétrique et vice-versa.
