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Méthodes de détermination d'un sous-espace

On désigne par un des espaces . Des sous-espaces vectoriels de cet espace vectoriel peuvent être déterminés de bien des façons, mais il y en a deux qui sont essentielles :

déterminer un sous-espace par une base de ce sous-espace (par exemple "soit le sous-espace de ayant pour base "),

déterminer un sous-espace par un ensemble d'équations (si possible indépendantes) dont les inconnues sont les coordonnées des vecteurs par rapport à une base donnée de (par exemple "soit le sous-espace de déterminé par les équations et "). Comme variante de la première façon, on peut déterminer le sous-espace par un système générateur.

Méthodes adaptées aux problèmes

Suivant les questions posées à propos d'un ou plusieurs sous-espaces, l'une des deux descriptions peut être plus commode que l'autre.

Appartenance d'un vecteur à un sous-espace

Par exemple pour savoir si un vecteur, donné par ses coordonnées dans une base de , appartient au sous-espace considéré, il est plus commode de connaître des équations caractérisant ce sous-espace (suivant la même base !) que de connaître une base de ce sous-espace (sauf si par miracle le vecteur faisait partie de ladite base !).

Somme de deux-sous-espaces

Pour décrire la somme de deux sous-espaces et de , il est plus commode de connaître une base de chacun : la réunion des deux bases est un système générateur de et il suit d'en extraire un système libre engendrant le même sous-espace.

Intersection de deux sous-espaces

Par contre pour décrire , il est plus commode d'utiliser des équations... et pour savoir si , il est pratique d'avoir une base (ou au moins un système générateur) de et des équations de

On l'aura compris, il est donc important de savoir passer de 1. à 2. dans un sens ou dans l'autre. Cette situation a déjà été rencontrée et travaillée à propos des droites et des plans dans l'espace où les méthodes de détermination dépendaient du problème traité, discussion que nous avions vue sous la forme du passage d'une représentation implicite à une représentation paramétrique et vice-versa.

Légende :
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S'exercer
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