Méthodes de détermination d'un sous-espace
On désigne par \(E\) un des espaces \(\mathrm{I\!R^4}\). Des sous-espaces vectoriels de cet espace vectoriel \(E\) peuvent être déterminés de bien des façons, mais il y en a deux qui sont essentielles :
\(1.\)déterminer un sous-espace par une base de ce sous-espace (par exemple "soit \(F\) le sous-espace de \(\mathrm{I\!R^3}\) ayant pour base \(B = \left \{(0, 1, 1), (1, 0, - 1) \right \} \ldots\) "),
\(2.\)déterminer un sous-espace par un ensemble d'équations (si possible indépendantes) dont les inconnues sont les coordonnées des vecteurs par rapport à une base donnée de \(E\) (par exemple "soit \(G\) le sous-espace de \(\mathrm{I\!R^4}\) déterminé par les équations \(x - 2y + z + 3t = 0\) et \(2x + z + t = 0 \ldots\)"). Comme variante de la première façon, on peut déterminer le sous-espace par un système générateur.
Méthodes adaptées aux problèmes
Suivant les questions posées à propos d'un ou plusieurs sous-espaces, l'une des deux descriptions peut être plus commode que l'autre.
Appartenance d'un vecteur à un sous-espace
Par exemple pour savoir si un vecteur, donné par ses coordonnées dans une base de \(E\), appartient au sous-espace considéré, il est plus commode de connaître des équations caractérisant ce sous-espace (suivant la même base !) que de connaître une base de ce sous-espace (sauf si par miracle le vecteur faisait partie de ladite base !).
Somme de deux-sous-espaces
Pour décrire la somme de deux sous-espaces \(F\) et \(G\) de \(E\), il est plus commode de connaître une base de chacun : la réunion des deux bases est un système générateur de \(F + G\) et il suit d'en extraire un système libre engendrant le même sous-espace.
Intersection de deux sous-espaces
Par contre pour décrire \(F \subset G\), il est plus commode d'utiliser des équations... et pour savoir si \(F \subset G\), il est pratique d'avoir une base (ou au moins un système générateur) de \(F\) et des équations de \(G \ldots\)
On l'aura compris, il est donc important de savoir passer de 1. à 2. dans un sens ou dans l'autre. Cette situation a déjà été rencontrée et travaillée à propos des droites et des plans dans l'espace où les méthodes de détermination dépendaient du problème traité, discussion que nous avions vue sous la forme du passage d'une représentation implicite à une représentation paramétrique et vice-versa.