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Somme de deux sous-espaces F et F'
Définition

On appelle somme de deux sous-espaces et de et on note le sous-espace défini par :

Exemple : Exemples dans l'espace vectoriel réel de dimension 3

La somme de deux droites vectorielles non colinéaires est le plan vectoriel passant par ces deux droites. La somme d'une droite vectorielle et d'un plan est l'espace entier si ces deux plans sont sécants, le plan si la droite est contenue dans le plan.

La somme est un sous-espace vectoriel de .

En effet, l'élément nul étant à la fois dans et dans , il est dans la somme .

est stable par addition car .

est stable par multiplication par un scalaire quelconque car

. Si est dans alors aussi, et si est dans alors aussi, par conséquent est dans .

Propriété

est le plus petit sous-espace qui contient à la fois et .

En effet : si on peut écrire avec . (De même ). Si est un sous-espace qui contient à la fois et , il contient tous les éléments du type avec , et donc il contient .

Théorème

Le sous-espace est le plus petit sous-espace qui contient à la fois et .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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