Modes de calcul du déterminant
Interprétation géométrique
Si on rapporte l'espace à un repère orthonormé direct. Le déterminant \(det(\vec{A},\vec{B}, \vec{C})\) est le produit mixte de ces trois vecteurs \(\vec{A},\vec{B}, \vec{C}\). Il s'interprète comme volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs.
Cela se démontre en mettant les coordonnées de \(\vec{A}\) en facteur :
\(det(\vec{A},\vec{B}, \vec{C})=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1\)
\(det(\vec{A},\vec{B}, \vec{C})=\vec{A}.(\vec{B} \land \vec{C})\)
Modes de calcul du déterminant
Nous avons calculé le déterminant en développant par rapport à la première colonne.
De la même façon nous pouvons faire un développement par rapport à la deuxième colonne ou à la troisième colonne dans l'expression :
\(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1\)
Développement par rapport à la deuxième colonne
\(\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| = -b_1 \left| \begin{array}{ccc} a_2& c_2\\ a_3&c_3 \end{array} \right|+b_2 \left| \begin{array}{ccc} a_1& c_1\\ a_3&c_3 \end{array} \right|-b_3 \left| \begin{array}{ccc} a_1& c_1\\ a_2&c_2 \end{array} \right|\)
Développement par rapport à la troisième colonne
\(\left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| = c_1 \left| \begin{array}{ccc} a_2& b_2\\ a_3&b_3 \end{array} \right|-c_2 \left| \begin{array}{ccc} a_1& b_1\\ a_3&b_3 \end{array} \right|+c_3 \left| \begin{array}{ccc} a_1& b_1\\ a_2&b_2 \end{array} \right|\)
Signes utilisés pour ces développements
\(\left| \begin{array}{ccc} + & - &+\\ - & + & - \\+& - & + \end{array} \right|\)
De la même façon nous pouvons faire un développement par rapport à la première ligne ou à la deuxième ou à la troisième dans l'expression
\(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1\)
Développement par rapport à la première ligne
\(det \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| = a_1 \left| \begin{array}{ccc} b_2& c_2\\ b_3&c_3 \end{array} \right|-b_1 \left| \begin{array}{ccc} a_2& c_2\\ a_3&c_3 \end{array} \right|+c_1 \left| \begin{array}{ccc} a_2& b_2\\ a_3&b_3 \end{array} \right|\)
Invariance par transposition
Le déterminant ne change pas si on le transpose, c'est-à-dire si on fait l'échange des lignes et des colonnes, (symétrie par rapport à la première bissectrice). On peut donc aussi développer par rapport aux lignes.
\(det \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| =det \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|\)
Faire apparaître des zéros
On utilisera la règle suivante pour faciliter le calcul d'un déterminant. On ne change pas le déterminant si on ajoute à une colonne (resp. ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (resp. lignes). Le but est de faire apparaître des zéros pour avoir un calcul simple.
Exemple :
\(\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 5\end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1\\ 3 & -1 & 5\end{array} \right| =\left| \begin{array}{ccc} -1 & 1\\ -1 & 5\end{array} \right|=-5+1=-4\)
Exemple :
\(\left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x^2\\ 1 & a& a^2\\ 1 & b & b^2\end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x^2\\ 0 & a-x & a^2-x^2\\ 0 & b-x & b^2-x^2 \end{array} \right| =\left| \begin{array}{ccc} a-x & a^2-x^2\\ b-x & b^2-x^2 \end{array} \right|\)
\(=(a-x)~(b-x)\left| \begin{array}{ccc} 1 & a+x\\1 & b+x \end{array} \right|=(a-x)~(b-x)~(b-a)\)
Règle de Sarrus pour le calcul d'un déterminant
Règle :
\(det \left| \begin{array}{ccc} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| =\begin{array}{cc|ccccc|cc} && a_{1} & & b_{1} & & c_{1} \\&& & \ddots &&& \\&& a_{2} & & b_{2} & & c_{2} \\&& & \ddots & &\ddots &\\&-& a_{3} & & b_{3} & & c_{3}&+& \\&& & \ddots & &\ddots &\\&-& a_{1} & & b_{1} & & c_{1}&+& \\ && & & &\ddots &\\&-& a_{2} & & b_{2} & & c_{2}&+ \end{array}\)