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Forme n-linéaire alternée
Calcul du déterminant

est une permutation paire.

est une permutation impaire.

Calcul du déterminant transposé

Cela revient à développer par rapport aux lignes. Prenons l'expression du déterminant :

Dans chaque terme , les facteurs sont rangés suivant les croissants et . On a donc . Rangeons ces facteurs suivants les valeurs croissantes de . On obtient en utilisant .

Un déterminant est égal à son transposé.

Forme multilinéaire alternée

Si est une forme n-linéaire alternée on a par le même calcul que celui fait pour le déterminant :

Théorème

Toute forme n-linéaire alternée de sur est proportionnelle au déterminant.

Dépendance linéaire

Si sont dépendants alors leur déterminant est nul. Ceci se démontre facilement car l'un des est combinaison linéaire des autres.

Indépendance linéaire

Si sont indépendants, ils forment une base et l'on exprime les vecteurs de base en fonction des :

le déterminant est non nul car

Critère de dépendance linéaire

équivaut à linéairement dépendants.

Pour que vecteurs de soient linéairement dépendants, il faut et il suffit que leur déterminant soit nul.

Critère d'indépendance linéaire

équivaut à linéairement indépendants.

Pour que vecteurs de soient linéairement indépendants, il faut et il suffit que leur déterminant soit non nul.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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