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Formes trilinéaires alternées

Calculons en utilisant que c'est une forme trilinéaire alternée. En développant , on obtient 27 termes

Beaucoup sont nuls car ils correspondent à avec au moins deux vecteurs égaux. Seuls restent 6 termes non nuls quand forment une permutation de . On a :

Ceci conduit à étudier les permutations des nombres 1, 2, 3.

Permutations de 1, 2, 3

On désigne pour des raisons que nous expliquerons dans un paragraphe suivant, et on note les permutations des nombres 1, 2, 3 de la façon suivante :

Permutations paires

Permutations impaires

On posera : si est une permutation paire de .

si est une permutation impaire de .

On peut donc résumer les relations obtenues précédemment avec l'égalité :

Réciproque

Si nous supposons une forme trilinéaire alternée f de dans alors en développant on obtient :

Toute forme trilinéaire alternée sur est proportionnelle à la forme det :

Légende :
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