Permutations et déterminant d'ordre n
Désignons par \(\sigma\) une bijection de \(\{1,\ldots , n \}\) dans lui-même, appelée permutation de \(1, 2, \ldots , n\). Les vecteurs \(e_{\sigma(1)}, e_{\sigma(2)}, \ldots , e_{\sigma(n)}\) désignent les vecteurs \(e_1, \ldots , e_n\) mis dans un autre ordre. Parmi ces permutations, nous distinguons les transpositions qui échangent deux éléments et laissent fixes tous les autres. Nous allons admettre le théorème suivant :
Théorème :
Toute permutation se décompose en un produit (composé) de transpositions. La parité du nombre de transpositions est indépendante de la décomposition choisie.
Signature d'une permutation
Une permutation sera dite paire si ce nombre est pair, impair dans l'autre cas. On associe à toute permutation \(\sigma\) sa signature \(\epsilon_{\sigma}\) qui vaut \(+ 1\) si elle est paire et \(- 1\) si elle est impaire.
Notation
\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2& 3 & 4\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array} \right)\) se note aussi \((1,4)(2,3)\) et \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2& 3 & 4\\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{array} \right)\) se note aussi \((1, 4, 2, 3)\)
Exemple :
\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2& 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{array} \right)\)
peut se décomposer en
\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2& 3 & 4\\ 2 & 1 & 3 & 4 \end{array} \right)\)
(échange de 1 et 2) suivi de
\(\left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{array} \right)\)
(échange de 1 et 3) suivi de
\(\left( \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{array} \right)\)
(échange de 1 et 4).
Le théorème indique que quelle que soit la façon dont cette décomposition en produit de transpositions est faite, on obtient un nombre impair de transpositions puisqu'ici cette permutation circulaire se décompose en trois transpositions et \(\epsilon_{2341} = - 1\).
Exemple :
La permutation circulaire
\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right)\)
peut se décomposer en
\(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 3 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right)\)
(échange de 1 et 3) suivi de
\(\left( \begin{array}{cccc} 3 & 2 & 1 & 4\\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{array} \right)\)
(échange de 3 et 4) \((3412)\) est une permutation paire et \(\epsilon_{(3412)} = + 1\)
Propriété : Les permutations inverses
Une permutation \(\sigma\) et son inverse \(\sigma^{-1}\) sont de même parité.
Une permutation \(\sigma\) et son inverse \(\sigma^{-1}\) sont de même parité puisque leur composé est l'identité et que celle-ci est évidemment une permutation paire. Il suffit d'imaginer une décomposition de \(\sigma\) et une de \(\sigma^{-1}\). On en déduit une décomposition de l'identité comportant toutes les transpositions utilisées pour décomposer \(\sigma\) et \(\sigma^{-1}\).
Remarque : En algèbre
Les propriétés précédentes peuvent se traduire en langage algébrique quand on connaît la structure de groupe.
L'application qui a une permutation \(\sigma\) associe sa signature \(\epsilon_{\sigma}\) définit un morphisme de groupe, du groupe des permutations de l'ensemble \(\{1, 2, \ldots , n \}\) (muni de la composition des applications), dans le groupe multiplicatif à deux éléments \(\{+ 1 - 1\}.\)