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Permutations et déterminant d'ordre n

Désignons par une bijection de dans lui-même, appelée permutation de . Les vecteurs désignent les vecteurs mis dans un autre ordre. Parmi ces permutations, nous distinguons les transpositions qui échangent deux éléments et laissent fixes tous les autres. Nous allons admettre le théorème suivant :

Théorème

Toute permutation se décompose en un produit (composé) de transpositions. La parité du nombre de transpositions est indépendante de la décomposition choisie.

Signature d'une permutation

Une permutation sera dite paire si ce nombre est pair, impair dans l'autre cas. On associe à toute permutation sa signature qui vaut si elle est paire et si elle est impaire.

Notation

se note aussi et se note aussi

Exemple

peut se décomposer en

(échange de 1 et 2) suivi de

(échange de 1 et 3) suivi de

(échange de 1 et 4).

Le théorème indique que quelle que soit la façon dont cette décomposition en produit de transpositions est faite, on obtient un nombre impair de transpositions puisqu'ici cette permutation circulaire se décompose en trois transpositions et .

Exemple

La permutation circulaire

peut se décomposer en

(échange de 1 et 3) suivi de

(échange de 3 et 4) est une permutation paire et

Propriété : Les permutations inverses

Une permutation et son inverse sont de même parité.

Une permutation et son inverse sont de même parité puisque leur composé est l'identité et que celle-ci est évidemment une permutation paire. Il suffit d'imaginer une décomposition de et une de . On en déduit une décomposition de l'identité comportant toutes les transpositions utilisées pour décomposer et .

Remarque : En algèbre

Les propriétés précédentes peuvent se traduire en langage algébrique quand on connaît la structure de groupe.

L'application qui a une permutation associe sa signature définit un morphisme de groupe, du groupe des permutations de l'ensemble (muni de la composition des applications), dans le groupe multiplicatif à deux éléments

Légende :
Apprendre
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S'exercer
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Simuler
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