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Déterminant d'ordre n
Méthode : Définition de proche en proche

Comme pour le déterminant d'ordre 3 calculé à partir des déterminants d'ordre 2, on va définir par récurrence le déterminant d'ordre ou encore de vecteurs de . On définit le développement par rapport à la première colonne qui semble jouer un rôle privilégié. On verra qu'il n'en est rien.

soit rapporté à la base canonique . On considère vecteurs avec pour toute valeur de , et on définit le déterminant de ces vecteurs par récurrence sur n par l'expression :

Les déterminants étant des déterminants d'ordre obtenus en barrant dans le déterminant la i-ième ligne et la première colonne.

Propriété : Linéarité

Les propriétés suivantes sont à démontrer par récurrence sur . On voit l'inconvénient de la définition par récurrence. Elle oblige à distinguer deux cas suivant que le vecteur est utilisé ou non. Certaines de ces démonstrations sont complexes et seules des indications seront données.

Linéarité par rapport au premier vecteur

est linéaire par rapport au premier vecteur. Cela est évident sur la définition

Linéarité par rapport aux autres vecteurs

est linéaire par rapport à chacun des autres vecteurs , puisque tous les sous-déterminants qui ne contiennent que des colonnes extraites des derniers vecteurs le sont.

Cas de deux vecteurs égaux

Démonstration par récurrence en supposant comme hypothèse de récurrence la propriété vraie pour tous les déterminants d'ordre inférieur à .

Le déterminant s'annule si deux des vecteurs et sont égaux pour des indices et . Ce cas est facile à démontrer par récurrence en utilisant la définition pour tous les déterminants d'ordre .

Le déterminant s'annule si deux des vecteurs et sont égaux pour un indice . Ce cas est moins facile à démontrer par récurrence. Il faut de nouveau développer tous les déterminants par rapport à la première colonne en utilisant la propriété pour tous les déterminants d'ordre . Soient le déterminant obtenu en barrant les colonnes 1 et et les lignes et . Ces déterminants apparaissent quand on développe le déterminant initial suivant la première colonne, puis les sous-déterminants suivant la colonne issue du vecteur . Dans les sommes issues de ces calculs, apparaît deux fois avec des coefficients opposés :

et , (on n'oublie pas que les colonnes 1 et sont identiques). On obtient une somme de termes et donc un nombre pair de termes. Ceux-ci se regroupent deux à deux. Donc la somme est nulle.

On démontre la propriété d'antisymétrie en utilisant la propriété précédente, si deux colonnes sont égales et la bilinéarité et en développant le déterminant

Propriété : Antisymétrie

Le déterminant se change en son opposé si on échange deux des vecteurs et pour des indices et distincts.

Le déterminant ne change pas si on ajoute à l'un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs.

Ceci résulte des propriétés précédentes, et permet de simplifier le calcul du déterminant.

Déterminant des vecteurs du repère

Légende :
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S'exercer
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