Exercice 1
Durée : 5 mn
Note maximale : 3
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{-\textrm{0,999}}e^{-t}dt}\)
Comparaison avec les intégrales de Riemann.
Solution
L’intégrale est convergente.
La fonction \(x\mapsto x^{\textrm{-0,999}}e^{-x}\) est positive, elle est continue donc localement intégrable sur l’intervalle \(]0,+\infty[\).
[0.5 point]
La fonction n’est pas bornée au voisinage de \(0\) mais on a l’équivalence \(\displaystyle{x^{\textrm{-0,999}}e^{-x}\sim\frac{1}{x^{\textrm{0,999}}}}\). Par comparaison avec les intégrales de Riemann on en déduit la convergence pour la borne \(0\).
[1 point]
On a \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=0}\). Donc il existe \(B\) tel que, pour tout \(x>B\), on ait \(xe^{-x}<1\), d'où \(\displaystyle{0<x^{-\textrm{0,999}}e^{-x}<\frac{1}{x^{\textrm{1,999}}}}\). Par comparaison avec les intégrales de Riemann, on en déduit la convergence pour la borne \(+\infty\).
[1 point]
L’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{-\textrm{0,999}}e^{-t}dt}\) est donc convergente.
[0.5 point]
Remarque :
Cette intégrale est de la forme \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^re^{st}dt}\) étudiée dans le cours.