Exercice 3
Durée : 6 mn
Note maximale : 4
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\arcsin\frac{t}{1+t^2}\ln t~dt}\).
Utiliser un équivalent de la fonction au voisinage de \(+\infty\) pour minorer par une fonction dont l’intégrale est divergente.
Solution
L’intégrale est divergente.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto\arcsin\frac{x}{1+x^2}\ln x}\) est définie (\(\displaystyle{\forall x\ge0,~0\le\frac{x}{1+x^2}<1}\)), continue sur l’intervalle \(]0,+\infty[\), donc localement intégrable sur cet intervalle.
[1 point]
Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on a \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}\arcsin\frac{x}{1+x^2}=0}\) et l’égalité \(\displaystyle{\arcsin\frac{x}{1+x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}\) entraîne \(\displaystyle{\arcsin\frac{x}{1+x^2}\ln x>\frac{1}{x}>0}\).
[2.5 points]
L’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}\arcsin\frac{t}{1+t^2}\ln t~dt}\) est donc divergente.
[0.5 point]
Pour ceux qui auraient commencé par la borne \(0\). Au voisinage de \(0\), on a : \(\displaystyle{\arcsin\frac{x}{1+x^2}\sim x}\) et, compte tenu de l’égalité \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}x\ln x=0}\), on conclut que la fonction est prolongeable par continuité en \(0\) et qu’il n’y a donc pas de problème de convergence pour cette borne.