Exercice 2
Durée : 4 mn
Note maximale : 3
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{-1000}e^{\tfrac{t}{1000}}dt}\)
Comparaison avec les intégrales de Riemann.
Solution
L’intégrale est divergente.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto x^{-1000}e^{\tfrac{x}{1000}}}\) est positive, elle est continue sur l’intervalle \(]0,+\infty[\), donc localement intégrable sur cet intervalle.
[0.5 point]
La fonction n’est pas bornée au voisinage de \(0\) et \(\displaystyle{x^{-1000}e^{\tfrac{1}{1000}}\sim x^{-1000}}\). Par comparaison avec les intégrales de Riemann, l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{-1000}e^{\tfrac{t}{1000}}dt}\) est divergente pour la borne \(0\).
Ainsi l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{-1000}e^{\tfrac{t}{1000}}dt}\) est divergente.
[0.5 point]
Pour ceux qui auraient commencé par l’étude pour la borne \(+\infty\), on remarque que la fonction \(\displaystyle{x\mapsto x^{-1000}e^{\tfrac{x}{1000}}}\) tend vers \(+\infty\), quand \(x\) tend vers \(+\infty\) et donc l’intégrale est également divergente pour la borne \(+\infty\).
[2 points]