Exercice 5
Durée : 8 mn
Note maximale : 6
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{J=\int_{0}^{1}\frac{t^m\ln t}{(1+t+t^2)^4}dt}\).
Discuter suivant les valeurs de \(m\).
Solution
L’intégrale \(J\) est convergente si et seulement si \(m>-1\).
Quand \(x\) tend vers \(0\), la fonction \(\displaystyle{f: t\mapsto\frac{t^m\ln t}{(1+t+t^2)^4}}\) garde un signe constant négatif et on a : \(f(x)\sim x^m\ln x\).
[1 point]
\(m>0\), alors \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}x^m\ln x=0}\). La fonction \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\). Il n’y a donc pas de problème de convergence.
[1 point]
\(m\le0\), en posant \(m'=-m\), on a \(\displaystyle{f(x)\sim\frac{\ln x}{x^{m'}}}\).
\(m'\ge1\). Comme \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln x}{x^{m'-1}}=-\infty}\), il existe \(\epsilon>0\) tel que pour tout \(\displaystyle{x\in]0,\epsilon],~\left|f(x)\right|>\frac{1}{x}}\) , et l’intégrale \(J\) est divergente.
[1 point]
\(m'<1\). Comme pour tout \(\alpha>0,~x^\alpha\ln x\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers 0, il existe \(\epsilon>0\) tel que pour tout \(x\in]0,\epsilon]\), \(\displaystyle{\left|\ln x\right|<\frac{1}{x^\alpha}}\) d'où \(\displaystyle{\left|f(x)\right|<\frac{1}{x^{\alpha+m'}}}\). On choisit \(\alpha>0\), tel que \(\alpha+m'<1\).
[2 points]
Comme dans ce cas l'intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{\alpha+m'}}}\) est convergente, on déduit que l'intégrale \(J\) est convergente.
[0.5 point]
L’intégrale \(J\) est convergente si et seulement si \(m>-1\).
[0.5 point]