Exercice 4
Durée : 7 mn
Note maximale : 4
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\left|\ln t\right|^mdt~~(m\in\mathbb R_+^*)}\).
Solution
L’intégrale est convergente quel que soit le réel \(m\) strictement positif.
Comme \(m>0\), la fonction \(t\mapsto\left|\ln t\right|^m\) est localement intégrable sur l’intervalle \(]0,1]\), car elle est continue sur cet intervalle.
[0.5 point]
Au voisinage de \(0\), la fonction n’est pas bornée et : \(\displaystyle{\forall p>0,~\lim_{x\rightarrow0}x^p\ln x=0}\).
Il existe donc \(h>0\), tel que sur l’intervalle \(]0,h]\), on ait \(\displaystyle{\left|\ln x\right|^m<\frac{1}{x^{mp}}}\).
[2.5 points]
En choisissant \(p>0\) tel que \(pm<1\), on conclut que l’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{1}\left|\ln t\right|^mdt~~(m\in\mathbb R_+^*)}\) est convergente quel que soit le réel \(m\) strictement positif.
[1 point]