Exercice 1
Partie
Question
Étude de la série de terme général :
\(u_n=\left(n\sin\left(\frac1{n}\right)\right)^{n^2}, \quad (n\geq1)\)
Aide simple
Un développement limité est nécessaire.
Aide détaillée
Écrire le terme général de la série sous forme exponentielle.
Comportement à l'infini du terme général.
Conclusion immédiate.
Solution détaillée
Compte tenu de la forme du terme général, la première étape est de l'écrire sous forme exponentielle soit :
\(u_n=\left(n\sin\left(\frac1{n}\right)\right)^{n^2}=e^{n^2\ln(n\sin(1/n))} \quad (n\geq1).\)
Quand \(n\) tend vers l'infini, on a : \(n \sin \left(\frac1{n}\right)\sim 1,\) d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \ln \left(n\sin \left(\frac1{n}\right)\right)=0.\)
Ainsi l'exposant \(\ln(u_n)\) se présente sous forme du produit d'un terme qui tend vers \(0\) par un terme qui tend vers l'infini. Il y a donc une indétermination qu'un développement limité permet de résoudre. On a :
\(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)=n\left(\frac1{n}-\frac{1}{6n^3}+\frac{\epsilon(n)}{n^4}\right)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \epsilon(n)=0\) d'où \(\ln(u_n)=n^2\ln\left(1-\frac{1}{6n^2}+\frac{\epsilon(n)}{n^3}\right).\)
On en déduit que \(\ln(u_n)\) a pour limite \(-\frac16\) et donc que le terme général de la série ne tend pas vers \(0.\) La série est divergente.
Remarque :
Il aurait aussi été logique de penser, compte tenu de la forme du terme général, à utiliser la règle de Cauchy ; en fait elle ne permet pas de conclure. On a en effet d'après le calcul précédent :
\(\ln\left(\sqrt[n]{u_n}\right)=n\ln\left(n\sin\left(\frac1{n}\right)\right) \sim-\frac1{6n}.\) D'où : \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \ln\left(\sqrt[n]{u_n}\right)=0\) et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \sqrt[n]{u_n}=1.\)
Question
Étude de la série de terme général:
\(u_n=\frac1{n^{2-\cos(1/n)}}, \quad (n\geq1)\)
Aide simple
Le terme général de la série est de signe constant, peut-on en trouver un équivalent simple ?
Aide détaillée
Écriture sous forme exponentielle du terme général.
Comportement à l'infini du terme général.
Conclusion par comparaison avec une série de référence.
Solution détaillée
Écriture sous forme exponentielle du terme général
Compte tenu de la forme du terme général, la première étape consiste à l'écrire sous forme exponentielle, soit \(u_n=\frac1{n^{2-\cos(1/n)}}=e^{-(2-\cos(1/n))\ln n} \quad (n\geq1)\)
Comportement à l'infini du terme général
L'exposant \(\ln(u_n)\) tend vers \(-\infty\) et le terme général tend bien vers \(0.\)(Cela se voit d'ailleurs directement sur la forme initiale : l'exposant de \(n\) est supérieur à \(1)\)
Le terme général est de signe constant, on en cherche un équivalent. On a :
\(\ln(u_n)=\left(\cos\left(\frac1{n}\right)-2\right)\ln n =\left(-1-\frac1{2n^2}+\frac{\epsilon(n)}{n^2}\right) \ln n\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \epsilon(n)=0,\) soit encore
\(\ln(u_n)=-\ln n -\frac{\ln n}{n^2}\left(\frac12+\epsilon(n)\right)=-\ln n+\theta_n\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \theta_n=0.\)
On en déduit : \(u_n=\frac1{n}e^{\theta_n}\) et donc \(u_n \sim \frac1{n}(n\rightarrow+\infty).\)
Conclusion
La série est donc divergente.
Remarque
Il est nécessaire de passer par la forme exponentielle et de faire un développement limité car si on écrit \(2-\cos \left(\frac1{n}\right)=1+\epsilon(n)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \epsilon(n)=0,\) on a \(\frac1{n^{2-\cos(1/n)}}=\frac1{n^{1+\epsilon(n)}}=\frac1{n}.\frac1{n^{\epsilon(n)}}\) et on ne peut pas conclure..
Question
Étude de la série de terme général :
\(u_n= \frac{n^{\ln n}}{e^{\sqrt{n}}}, \quad (n\geq2)\)
Aide simple
Écriture sous forme exponentielle du terme général.
Majoration du terme général.
Conclusion par comparaison avec une série de référence.
Aide détaillée
On rappelle que pour tout \(s > 0,\) quand \(n\) tend vers l'infini, on a \(0<\ln n<n^s;\) on choisira un \(s\) convenable.
Solution détaillée
Compte tenu de la forme du terme général, la première étape est de l'écrire sous forme exponentielle, soit
\(u_n=\frac{n^{\ln n}}{e^{\sqrt{n}}}=e^{\ln^2n-\sqrt{n}}\quad (n\geq2).\)
Quel que soit \(s > 0,\) quand \(n\) tend vers l'infini, on a \(0<\ln n<n^s;\) en prenant \(s < 1,\) par exemple \(s =\frac18,\) on a, pour \(n\) assez grand,
\(\ln^2(n)-\sqrt{n}<n^{\frac14}-n^{\frac12}=n^{\frac12}\left(n^{-\frac14}-1\right)<-\frac{n^{\frac12}}{2},\)
d'où, \(e^{\ln^2n-\sqrt{n}}<e^{-\sqrt{n}/2}.\) Or on a \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}} n^2 e^{-\sqrt{n}/2}=0.\) La série est donc convergente.
Question
Étude de la série de terme général :
\(u_n=(-1)^n\frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}}, \quad (n\geq1)\)
Aide simple
Étude de la série des valeurs absolues : minoration, conclusion partielle.
Application d'un critère de semi-convergence.
Solution détaillée
Étude de la série des valeurs absolues
L'inégalité \(\left|u_n\right| \frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}} \geq \frac1{\sqrt{n}} \quad (n\geq3)\) entraîne que la série des valeurs absolues est divergente.
Application du théorème des séries alternées
On a \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}} u_n=0 ;\) si la suite \(\left(\frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}} \right)\) est décroissante à partir d'un certain rang, on peut appliquer le théorème des séries alternées. On étudie donc la fonction \(f : x \mapsto \frac {\ln^2(x)}{\sqrt{x}}\) sur \(]0,+\infty[.\)
On a \(f'(x)=\frac{2\ln(x)}{x\sqrt{x}} -\frac{\ln^2(x)}{2x\sqrt{x}}=\frac{ln(x)}{2x\sqrt{x}} \left(4-\ln(x)\right).\) La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle \(]e^4,+\infty[ ;\) il en est donc de même pour la suite \(\left(\frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}} \right)\) pour \(n\geq55\).
Question
Étude de la série de terme général :
\(u_n=\frac{(1+i)^n \alpha^n}{n}, (n\geq1, \alpha\in \mathbb R_+^*)\)
Aide simple
Étude de la série des modules : application de la règle de d'Alembert, discussion suivant les valeurs de \(a\).
Aide détaillée
Si \(\alpha=\frac1{\sqrt{2}},\) appliquer un critère de semi-convergence.
Solution détaillée
Il s'agit ici d'une série à termes complexes ; on étudie donc la série des modules. On a :
\(\left|u_n\right|=\frac{\left|(1+i)^n\alpha^n\right|}{n}=\frac{(\alpha\sqrt{2})^n}{n}.\)
Plusieurs méthodes sont possibles : on peut par exemple utiliser la règle de d'Alembert, on a :
\(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\alpha\sqrt{2}\frac n{n+1}.\)
On distingue donc les cas suivants :
\alpha<\frac1{\sqrt{2}}, on a alors \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\alpha\sqrt{2}<1,\) la série est donc convergente ;
\alpha>\frac1{\sqrt{2}}, on a alors \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\alpha\sqrt{2}>1,\) la série est divergente ;
\alpha=\frac1{\sqrt{2}}, le critère de d'Alembert ne permet pas de conclure.
Le terme général s'écrit \(\frac{e^{\textrm{in}^ \pi/4}}{n},\) on est dans un cas classique d'application du théorème d'Abel (voir cours "Critères de semi-convergence", la série est semi-convergente.