Exercice 1

Partie

Question

Étude de la série de terme général :

\(u_n=\left(n\sin\left(\frac1{n}\right)\right)^{n^2}, \quad (n\geq1)\)

Aide simple

Un développement limité est nécessaire.

Aide détaillée
  • Écrire le terme général de la série sous forme exponentielle.

  • Comportement à l'infini du terme général.

  • Conclusion immédiate.

Solution détaillée

Compte tenu de la forme du terme général, la première étape est de l'écrire sous forme exponentielle soit :

\(u_n=\left(n\sin\left(\frac1{n}\right)\right)^{n^2}=e^{n^2\ln(n\sin(1/n))} \quad (n\geq1).\)

Quand \(n\) tend vers l'infini, on a : \(n \sin \left(\frac1{n}\right)\sim 1,\) d'où \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \ln \left(n\sin \left(\frac1{n}\right)\right)=0.\)

Ainsi l'exposant \(\ln(u_n)\) se présente sous forme du produit d'un terme qui tend vers \(0\) par un terme qui tend vers l'infini. Il y a donc une indétermination qu'un développement limité permet de résoudre. On a :

\(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)=n\left(\frac1{n}-\frac{1}{6n^3}+\frac{\epsilon(n)}{n^4}\right)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \epsilon(n)=0\) d'où \(\ln(u_n)=n^2\ln\left(1-\frac{1}{6n^2}+\frac{\epsilon(n)}{n^3}\right).\)

On en déduit que \(\ln(u_n)\) a pour limite \(-\frac16\) et donc que le terme général de la série ne tend pas vers \(0.\) La série est divergente.

Remarque :

Il aurait aussi été logique de penser, compte tenu de la forme du terme général, à utiliser la règle de Cauchy ; en fait elle ne permet pas de conclure. On a en effet d'après le calcul précédent :

\(\ln\left(\sqrt[n]{u_n}\right)=n\ln\left(n\sin\left(\frac1{n}\right)\right) \sim-\frac1{6n}.\) D'où : \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \ln\left(\sqrt[n]{u_n}\right)=0\) et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \sqrt[n]{u_n}=1.\)

Question

Étude de la série de terme général:

\(u_n=\frac1{n^{2-\cos(1/n)}}, \quad (n\geq1)\)

Aide simple

Le terme général de la série est de signe constant, peut-on en trouver un équivalent simple ?

Aide détaillée
  • Écriture sous forme exponentielle du terme général.

  • Comportement à l'infini du terme général.

  • Conclusion par comparaison avec une série de référence.

Solution détaillée

Écriture sous forme exponentielle du terme général

Compte tenu de la forme du terme général, la première étape consiste à l'écrire sous forme exponentielle, soit \(u_n=\frac1{n^{2-\cos(1/n)}}=e^{-(2-\cos(1/n))\ln n} \quad (n\geq1)\)

Comportement à l'infini du terme général

L'exposant \(\ln(u_n)\) tend vers \(-\infty\) et le terme général tend bien vers \(0.\)(Cela se voit d'ailleurs directement sur la forme initiale : l'exposant de \(n\) est supérieur à \(1)\)

Le terme général est de signe constant, on en cherche un équivalent. On a :

\(\ln(u_n)=\left(\cos\left(\frac1{n}\right)-2\right)\ln n =\left(-1-\frac1{2n^2}+\frac{\epsilon(n)}{n^2}\right) \ln n\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \epsilon(n)=0,\) soit encore

\(\ln(u_n)=-\ln n -\frac{\ln n}{n^2}\left(\frac12+\epsilon(n)\right)=-\ln n+\theta_n\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \theta_n=0.\)

On en déduit : \(u_n=\frac1{n}e^{\theta_n}\) et donc \(u_n \sim \frac1{n}(n\rightarrow+\infty).\)

Conclusion

La série est donc divergente.

Remarque

Il est nécessaire de passer par la forme exponentielle et de faire un développement limité car si on écrit \(2-\cos \left(\frac1{n}\right)=1+\epsilon(n)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \epsilon(n)=0,\) on a \(\frac1{n^{2-\cos(1/n)}}=\frac1{n^{1+\epsilon(n)}}=\frac1{n}.\frac1{n^{\epsilon(n)}}\) et on ne peut pas conclure..

Question

Étude de la série de terme général :

\(u_n= \frac{n^{\ln n}}{e^{\sqrt{n}}}, \quad (n\geq2)\)

Aide simple
  • Écriture sous forme exponentielle du terme général.

  • Majoration du terme général.

  • Conclusion par comparaison avec une série de référence.

Aide détaillée

On rappelle que pour tout \(s > 0,\) quand \(n\) tend vers l'infini, on a \(0<\ln n<n^s;\) on choisira un \(s\) convenable.

Solution détaillée

Compte tenu de la forme du terme général, la première étape est de l'écrire sous forme exponentielle, soit

\(u_n=\frac{n^{\ln n}}{e^{\sqrt{n}}}=e^{\ln^2n-\sqrt{n}}\quad (n\geq2).\)

Quel que soit \(s > 0,\) quand \(n\) tend vers l'infini, on a \(0<\ln n<n^s;\) en prenant \(s < 1,\) par exemple \(s =\frac18,\) on a, pour \(n\) assez grand,

\(\ln^2(n)-\sqrt{n}<n^{\frac14}-n^{\frac12}=n^{\frac12}\left(n^{-\frac14}-1\right)<-\frac{n^{\frac12}}{2},\)

d'où, \(e^{\ln^2n-\sqrt{n}}<e^{-\sqrt{n}/2}.\) Or on a \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}} n^2 e^{-\sqrt{n}/2}=0.\) La série est donc convergente.

Question

Étude de la série de terme général :

\(u_n=(-1)^n\frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}}, \quad (n\geq1)\)

Aide simple

Étude de la série des valeurs absolues : minoration, conclusion partielle.

Application d'un critère de semi-convergence.

Solution détaillée

Étude de la série des valeurs absolues

L'inégalité \(\left|u_n\right| \frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}} \geq \frac1{\sqrt{n}} \quad (n\geq3)\) entraîne que la série des valeurs absolues est divergente.

Application du théorème des séries alternées

On a \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow +\infty}} u_n=0 ;\) si la suite \(\left(\frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}} \right)\) est décroissante à partir d'un certain rang, on peut appliquer le théorème des séries alternées. On étudie donc la fonction \(f : x \mapsto \frac {\ln^2(x)}{\sqrt{x}}\) sur \(]0,+\infty[.\)

On a \(f'(x)=\frac{2\ln(x)}{x\sqrt{x}} -\frac{\ln^2(x)}{2x\sqrt{x}}=\frac{ln(x)}{2x\sqrt{x}} \left(4-\ln(x)\right).\) La fonction f est donc décroissante sur l'intervalle \(]e^4,+\infty[ ;\) il en est donc de même pour la suite \(\left(\frac{\ln^2(n)}{\sqrt{n}} \right)\) pour \(n\geq55\).

Question

Étude de la série de terme général :

\(u_n=\frac{(1+i)^n \alpha^n}{n},  (n\geq1, \alpha\in \mathbb R_+^*)\)

Aide simple

Étude de la série des modules : application de la règle de d'Alembert, discussion suivant les valeurs de \(a\).

Aide détaillée

Si \(\alpha=\frac1{\sqrt{2}},\) appliquer un critère de semi-convergence.

Solution détaillée

Il s'agit ici d'une série à termes complexes ; on étudie donc la série des modules. On a :

\(\left|u_n\right|=\frac{\left|(1+i)^n\alpha^n\right|}{n}=\frac{(\alpha\sqrt{2})^n}{n}.\)

Plusieurs méthodes sont possibles : on peut par exemple utiliser la règle de d'Alembert, on a :

\(\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\alpha\sqrt{2}\frac n{n+1}.\)

On distingue donc les cas suivants :

\alpha<\frac1{\sqrt{2}}, on a alors \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\alpha\sqrt{2}<1,\) la série est donc convergente ;

\alpha>\frac1{\sqrt{2}}, on a alors \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\alpha\sqrt{2}>1,\) la série est divergente ;

\alpha=\frac1{\sqrt{2}}, le critère de d'Alembert ne permet pas de conclure.

Le terme général s'écrit \(\frac{e^{\textrm{in}^ \pi/4}}{n},\) on est dans un cas classique d'application du théorème d'Abel (voir cours "Critères de semi-convergence", la série est semi-convergente.