Séries numériques - exercices d'entraînement

Les deux séries sont absolument convergentes, on peut donc définir leur produit. L'expression de est la suivante :

\(w_n=\displaystyle{\sum_{p=0}^{n}} u_p v_{n-p}=\displaystyle{\sum_{p=0}^{n}}\left(-\frac13\right)^p\left(\frac12\right)^{n-p}=\left(\frac12\right)^n\displaystyle{\sum_{p=0}^{n}}\left(\frac23\right)^p=\left(\frac12\right)^n\frac{1-\left(-\frac23\right)^{n+1}}{1+\frac23}=\frac35\left(\frac12\right)^n\left(1-\left(-\frac23\right)^{n+1}\right)=\frac35\left(\left(\frac12\right)^n-\frac23\left(-\frac13\right)^n\right)\)

On a donc \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}w_n=\frac35\left(\frac{1}{1-{\frac12}}+\frac23 \frac{1}{1+{\frac13}}\right)=\frac32.\) On vérifie qu'on a :

\(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}w_n=\left(\frac{1}{1+{\frac13}}\right)\left(\frac{1}{1-{\frac12}}\right)=\frac32=\left(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}u_n\right)\) \(\left(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}v_n\right).\)

On peut encore définir le produit des séries car les deux séries convergent absolument.

On a \(w_n\displaystyle{\sum_{p=0}^{n}}u_p u_{n-p}=\displaystyle{\sum_{p=0}^{n}} a^p a^{n-p}=(n+1)a^n.\)

D'où l'égalité \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}w_n=\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}(n+1)a^n=\frac{1}{(1-a)^2}.\)

Cette égalité est intéressante. En effet si \(x\) est un réel compris entre \(–1\) et \(1,\) l'égalité \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}}(n+1) x^n=\frac{1}{(1-x)^2}\) exprime que la dérivée de la fonction \(x\mapsto\frac{1}{(1-x)^2}\) est somme de la série de terme général \((n+1)x^n,\) c'est-à-dire la série de terme général obtenu en dérivant le terme général de la série \(x^n.\) On retrouvera cette formule dans l'étude des séries entières.