Exercice 3

Partie

Soient \(a, b, c\) trois réels ; on considère la série de terme général

\(u_n=a\ln n+b\ln(n+1)+c\ln(n+2)\quad (n\geq1).\)

Question

Montrer que la condition \(a+b+c=0\) est une condition nécessaire de convergence de cette série.

Solution détaillée

Pour que la série soit convergente, il faut que le terme général tende vers 0. On écrit

\(u_n=a\ln (n)+b\ln(n+1)+c\ln(n+2)=a\ln (n)+b\ln\left(n\left(1+\frac1{n}\right)\right)+c\ln\left(n\left(1+\frac2{n}\right)\right),\)

Soit : \(u_n=(a+b+c) \ln (n) +b\ln\left(1+\frac1{n}\right)+c\ln\left(1+\frac2{n}\right).\) Quand \(n\) tend vers \(+\infty\) les deux derniers termes tendent vers \(0,\) il faut donc pour que la série soit convergente que l'on ait :

\(a+b+c=0\)

Question

On suppose cette condition réalisée ; discuter la nature de la série suivant les valeurs de \(a, b, c.\)

Solution détaillée

Si \(a+b+c=0,\) on a quand \(n\) tend vers \(+\infty\)

\(u_n=\frac{b+2c}{n}+\frac{\epsilon(n)}{n}\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\epsilon(n)=0,\)

Si \(b+2c \neq0, u_n\sim \frac{b+2c}{n}(n\rightarrow+\infty),\) la série, qui est à termes tous de même signe à partir d'un certain rang, est divergente,

\(Si b+2c=0,\) alors \(u_n=b\left(\frac1{n}-\frac1{2n^2}\right)+c\left(\frac2{n}-\frac2{n^2}\right)+\frac{\nu(n)}{n^2}\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}}\nu(n)=0,\)

d'où \(u_n=-\frac{b+4c}{2n^2}+\frac{\nu_1(n)}{n^2},\) la série est convergente.

Question

On prend \(a=1, b=-2, c=1.\) Montrer que la série est convergente et calculer sa somme.

Solution détaillée

Si \(a=1, b=-2, c=1\) on a \(a+b+c=0\) et \(b+2c=0,\) a série est donc convergente.

On a alors : \(u_n=\ln (n)-2\ln(n+1)+\ln(n+2).\)

Il y a des simplifications entre les termes consécutifs

\(\ln (n-1)-2\ln(n)+\ln(n+1)\)

\(\ln (n)-2\ln(n+1)+\ln(n+2)\)

\(\ln (n+1)-2\ln(n+2)+\ln(n+3)\)

et on a l'expression de la somme partielle d'ordre \(n\) pour \(n\geq3\) :

\(s_n= \displaystyle{\sum_{k-1}^{n}}u_k=-\ln(2) -\ln (n+1)+\ln(n+2)=-\ln(2)+\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right).\) On en déduit que la série a pour somme \(–\ln(2).\)