Exercice 4

Partie

Question

Soit \(r\) un réel vérifiant \(r \geq 0\) et \(q\) un réel quelconque. Montrer que la série de terme général \(r^n \cos n \theta\) est convergente pour \(0\leq r \leq1\) et calculer sa somme.

(Pour calculer la somme de la série on calculera \(S_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}r^k\cos k\theta\) en lui associant la somme correspondante \(T_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}r^k\sin k\theta\) et en formant \(S_n+iT_n).\)

Solution détaillée

Convergence de la série

On a, pour tout entier \(n, 0 \leq \left| r^n \cos n \theta \right| \leq r^n,\) la série de terme général \(r^n \cos n \theta\) est donc absolument convergente pour \(0 \leq r \leq 1.\)

Calcul de la somme

La méthode, suggérée par le texte, et qui consiste à associer \(T_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}r^k\sin k\theta\) à l'expression \(S_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}r^k\cos k\theta,\) est classique et doit venir à l'esprit de façon quasi-automatique.

On a, en effet, \(S_n+iT_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}r^k(\cos k\theta+i\sin k\theta)=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}r^k e^{ik0}=\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}\left(r e^{i\theta}\right)^k.\)

Il s'agit d'une expression de la forme, \(1+z+z^2+.....z^n=\frac{z^{n+1}}{z-1} \quad (z\neq1),\) soit

\(S_n+iT_n=\frac{r^{n+1} e^{i(n+1)\theta}}{r e^{i\theta}-1} \quad (r e^{i\theta}\neq1).\)

En multipliant numérateur et dénominateur par \(r e^{i\theta}-1,\) on obtient

\(S_n+iT_n=\frac{r^{n+2} e^{in\theta}-r^{n+1} e^{i(n+1)\theta}-re^{-i\theta}+1}{r ^2-2r\cos \theta +1}\)

et, en prenant la partie réelle de cette somme,

\(S_n=\frac{r^{n+2} \cos n \theta-r^{n+1} \cos (n+1) \theta-r \cos \theta+1}{r ^2-2r \cos \theta +1}.\)

D'où \(\displaystyle{\sum_{0}^{+\infty}}r^n \cos n \theta=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} S_n=\frac{1-r\cos \theta}{r^2-2r \cos \theta +1}.\)

Donc la série considérée est semi-convergente d'après le théorème des séries alternées.