Séries numériques - exercices d'entraînement

On note, pour tout entier \(n, u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\) et on désigne par \(v_n\) le terme général de la série produit de \(\sum u_n\) par elle même, on a : \(v_n= \displaystyle{\sum_{k=0}^{n}}u_ku_{n-k}.\)

Pour tout entier \(k\in \{0,1,...,n\}\) on a

\(u_ku_{n-k}=\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}}=(-1)^n \frac{1}{\sqrt{k+1}\sqrt{n-k+1}}.\)

Le terme \(v_n\) est la somme de \(n+1\) termes qui sont tous de même signe. Chaque terme est minoré en valeur absolue :

\(\left|u_ku_{n-k}\right|\geq \frac{1}{\sqrt{n+1}} \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{n+1}\) On a donc :

\(\left|v_n\right|\geq \frac{n+1}{n+1}=1,\) le terme général de la série ne tend pas vers 0, la série est donc divergente.