Exercice 6
Partie
Soient \(a\) et \(b\) deux réels vérifiant \(a>1\) et \(0<b<1.\) On considère la série dont le terme général \(u_n\) est défini de la façon suivante :
\(u_0=0,\) si \(n=2^p :u_{2p}=\frac{1}{n^b},\) sinon \(u_n=\frac{1}{n^a}.\)
Question
Montrer que cette série est convergente.
Aide simple
On montrera que la série considérée est la somme de deux séries convergentes.
Solution détaillée
La série considérée \(\sum u_n\) est une série à termes positifs ; elle est la somme de deux séries à termes positifs \(\sum v_n\) et \(\sum w_n\) où
la série \(\sum v_n\) est définie par :
\(v_0=0, v_n=\frac{1}{n^a} \quad \textrm{si} \quad n\neq 2^p \quad \textrm{et} \quad v_n=0 \quad \textrm{si} \quad n=2^p ;\)
la série \(\sum w_n\) est définie par : si \(n=2^p : w_{2p}=\frac{1}{2^{pb}}, \quad \textrm{sinon} \quad w_n=0.\)
On a donc : \(\forall n \in \mathbb N, 0\leq v_n\leq \frac{1}{n^a}\) avec \(a>1,\) et la série \(\sum v_n\) est convergente ; la série \(\sum w_n\) est majorée par la série géométrique de raison \(1/2^b\) donc est convergente. Les deux séries étant convergentes la série \(\sum u_n\) somme de deux séries convergentes est convergente.
Question
La suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) a t-elle une limite ?
Solution détaillée
On a, par ailleurs, suivant les valeurs de \(n,\)
\(n=2^p \quad \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^b}{(n+1)^a}, \quad n=2^p-1 \quad \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^a}{(n+1)^b},\) et sinon \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^a.\)
Comme \(0 < b < a ,\) la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) admet donc une suite extraite qui a pour limite \(0,\) une suite extraite qui a pour limite \(1\) et une suite extraite qui tend vers \(+\infty.\) Elle n'a donc pas de limite et de surcroît elle n'est pas bornée, bien que la série soit convergente.