Exercice 2

Partie

Question

Discuter suivant les valeurs de \(a\) et \(b\) la nature de la série de terme général

\(u_n=\left(\frac{n+a}{n+b}\right)^{n^2}, \quad (a>0,b>0)\)

Aide simple

  • Comportement à l'infini du terme général, discussion suivant les valeurs relatives de \(a\) et \(b.\)

  • Application de la règle de Cauchy.

  • Conclusion.

Solution détaillée

On distingue les cas et \(a\geq b\) et \(a<b.\)

  • \(a\geq b\) on a alors \(n+a\geq n+b>0\) d'où \(\frac{n+a}{n+b}\geq 1\) et le terme général ne tend pas vers \(0,\) la série est divergente.

  • \(a<b\) : compte tenu de la forme du terme général, on peut penser à appliquer la règle de Cauchy.

On a \(u_n^{1/n}=\left(\frac{1+\frac{a}{n}}{1+\frac{b}{n}}\right)^n,\)

d'où \(\ln \left(u_n^{1/n}\right)n\left(\ln\left(1+\frac{a}{n}\right)-\ln \left(1+\frac{b}{n}\right)\right)=n\left(\frac{a-b}{n}+\frac{\epsilon(n)}{n}\right)\) avec \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} \epsilon(n)=0.\)

On en déduit : \(\ln \left(u_n^{1/n}\right) \sim a-b\) et \(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}} u_n^{1/n}=e^{a-b}<1,\) la série est donc convergente.

Conclusion

Si \(a\geq b,\) la série est divergente et si \(a<b,\) la série est convergente.