Exercice 5
Partie
On considère la série dont le terme général \(u_n\) est défini de la façon suivante :
\(n\) pair, \(n=2p : u_{2_p}=\frac{1}{2^p}, n\) impair, \(n=2p-1 : u_{2_p-1}=\frac{1}{2^{p+1}}.\)
Question
Étudier cette série par la règle de Cauchy
Solution détaillée
Les termes de la suite \((u_n)\) sont tous strictement positifs.
Soit \(p\) un entier supérieur ou égal à \(1,\) on a
\(\left(u_{2_p}\right)^{\frac12p}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\left(u_{2_{p-1}}\right)^{\frac12p-1}=\frac{1}{2^{\frac{p+1}{2p-1}}}.\)
On en déduit : \(\displaystyle{\lim_{p\rightarrow+\infty}}\left(u_{2_p}\right)^{\frac12p}=\frac{1}{\sqrt{2}}= \displaystyle{\lim_{p\rightarrow+\infty}}\left(u_{2_{p-1}}\right)^{u(2_{p-1})}.\)
La suite \(u_n^{u_n}\) est donc convergente et a pour limite \(\frac{1}{\sqrt{2}}<1.\)
D'après la règle de Cauchy, la série est convergente.
Question
Étudier cette série par la règle de d'Alembert
Solution détaillée
Les termes de la suite \((u_n)\) sont tous strictement positifs.
On a \(\frac{u_{2p}}{u_{2p-1}}=2\) et \(\frac{u_{2p+1}}{u_{2p}}=\frac14\); la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)\) n'a donc pas de limite. On est donc dans un cas où la suite \(\left(u_n^{u_n}\right)\) a une limite mais pas la suite \(\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right),\) donc où la règle de Cauchy permet de conclure mais pas celle de d'Alembert.