Continuité
Théorème : Conservation de la continuité par convergence uniforme

Si une suite de fonctions ( ) converge uniformément sur vers une fonction et si les sont continues sur , alors est continue sur .

Démonstration

Il s'agit d'une conséquence du théorème précédent, puisque dire que est continue sur revient à dire que pour tout de  ; on applique donc le théorème précédent en remplaçant par  :

.

Or, puisque ( ) converge vers sur et que  ; donc, , ce qui signifie que est continue en , et ceci pour tout de , donc est continue sur .

Remarque : Remarque 1

Ceci nous fournit un moyen de prouver la non-convergence uniforme ; en effet, si les sont continues et si n'est pas continue, alors il n'y a pas convergence uniforme (voir l'exemple 3 dans l'introduction).

Remarque : Remarque 2

L'exemple 1 nous montre que la convergence uniforme est une condition suffisante pour affirmer la continuité de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues, mais pas une condition nécessaire ; en effet, dans cet exemple, toutes les fonctions sont continues sur , la fonction limite est elle aussi continue sur et nous avons pourtant montré que la suite ( ) ne converge pas uniformément vers sur .

Théorème : Corollaire : une condition suffisante plus faible

Si une suite de fonctions ( ) converge simplement sur vers une fonction , si la suite ( ) converge uniformément sur tout fermé borné de et si les sont continues sur , alors est continue sur .

Démonstration

Soit un élément quelconque de ; on enferme dans un fermé borné inclus dans et on applique le théorème 5 à ; est alors continue en .

Légende :
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