Dérivabilité d'une suite de fonctions
Théorème : Dérivabilité et convergence uniforme

Soit ( ) une suite de fonctions de classe sur . On suppose qu'il existe dans tel que la suite numérique converge ; on suppose également que la suite ( ) converge uniformément sur vers une fonction .

Alors : ( ) converge uniformément sur vers

Démonstration

On montre d'abord que ( ) est une suite de Cauchy uniforme sur  :

.

De plus, d'après le théorème des accroissements finis appliqués à la fonction ( ) sur , il existe dans tel que :

Posons  :

vérifie ainsi le critère de Cauchy uniforme sur , donc ( ) a une limite uniforme sur .

Ensuite, on fixe dans et on pose :

Il est clair que les fonctions ainsi définies sur sont continues en et convergent simplement vers sur .

Pour montrer que est dérivable en et que .

Il suffit de montrer que est continue en , car ainsi :

Pour montrer que est continue en , il suffit de montrer que la suite de fonctions continues ( ) converge uniformément sur .

Pour cela, comme ( ) converge uniformément sur , ( ) est uniformément de Cauchy, c'est à dire que, si l'on fixe , on peut trouver dans tel que , pour tout de ,

En appliquant à ( ) la formule des accroissements finis entre et , il existe dans tel que :

soit, en divisant par ( ) :

d'où, en appliquant (3) : .

C'est-à-dire : pour tout de

L'inégalité (large) reste vraie en par passage à la limite car les fonctions et sont continues en }.

Faisons tendre vers dans (4) ; on obtient : pour tout , pour tout ,

c'est-à-dire : converge uniformément vers sur .

Remarque

La convergence uniforme de la suite ( ) n'est pas dans les hypothèses, mais dans le résultat.

Théorème : Corollaire : Interversion de lim et dérivation

Remarque : Remarque 1

La convergence uniforme de la suite ( ) est une condition suffisante mais pas nécessaire.

Remarque : Remarque 2

Soit la suite ( ) définie sur par .

Toutes les fonctions sont de classe sur ; la suite des dérivées converge uniformément sur vers la fonction ; pourtant, la suite ( ) ne converge pas uniformément sur ; en effet, il manque la condition : "il existe dans tel que la suite numérique converge".

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