Intégrabilité
Théorème : Intégrabilité et convergence uniforme

Soit ( ) une suite de fonctions continues sur qui converge uniformément vers une fonction (qui est donc continue sur par application du théorème 5). On note la primitive de sur nulle en et la primitive de sur nulle en .

Alors, ( ) converge uniformément sur vers .

Démonstration

Pour fixé, puisque ( ) converge uniformément vers sur , on peut trouver dans tel que, pour et pour , .

En intégrant les deux membres de cette inégalité :

donc, dès que

Ce qui montre que , et donc que : .

Donc : .

La suite ( ) converge donc simplement vers sur .

De plus, l'entier ne dépend pas de (il ne dépend que de ), donc la convergence est uniforme.

Théorème : Corollaire ; Intégration

Sous les mêmes conditions que le théorème précédent, on a : 

La convergence uniforme est une condition suffisante pour intervertir et .

Exemple : Exemple 10

et .

Pour , pour tout .

Pour , et donc .

La suite ( ) converge donc simplement vers sur .

Ceci montre donc que la convergence de la suite ( ) vers n'est pas uniforme sur .

Remarque : Remarque 1

L'interversion est parfois possible sans qu'il y ait convergence uniforme ; autrement dit, la convergence uniforme n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir intervertir et .

L'exemple 3 de l'introduction nous le montre :  ; , et alors que la convergence n'est pas uniforme comme nous l'avons vu plus haut.

Remarque : Remarque 2

Le théorème 6 (Intégrabilité et convergence uniforme) est faux sur un intervalle non borné comme le montre l'exemple 11 suivant.

Exemple : Exemple 11

Soit ( ) la suite de fonctions définies sur par . Il est facile de voir que, pour , la suite tend vers 0 (donc .

La convergence est uniforme car \left| f_{n}(x) - \overset{\sim}{0} (x)\right| = \frac{1}{nx} \leq \frac{1}{n} sur [1, +\infty[, donc .

.

 donc, .

Remarque : Remarque 3

Dans le théorème 6, on peut affaiblir la condition "les sont toutes continues sur " par "les sont toutes continues par morceaux sur " ou par "les sont toutes intégrables sur ".

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