Exercice 1
Partie
Question
Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies par :
\(f_n(x) = x^n\) pour x \(\in\) [0, 1[,\( f_n(x) = 0\) sinon.
Aide simple
Pour la convergence simple, il faut distinguer deux cas suivant les valeurs de x.
Solution détaillée
Pour tout x en dehors de [0, 1[, ,\( f_n(x) = 0\) , donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\)
Pour tout x dans [0, 1[, \(f_n(x) = x^n\) donc, comme 0 \(\leqslant\) x < 1, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\)
\(\begin{array}{ccc}&cs&\\(f_n)&\rightarrow& \tilde{0}\\&\mathbb{R}&\end{array}\)