Exercice 6

Partie

Question

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R_+}\) par :

\(f_n(x) = \frac{1}{1 + nx}\)

Aide simple

Penser au cas x = 0.

Solution détaillée

Pour tout n, \(f_n\) est définie sur \(\mathbb{R_+}\) .

Pour x = 0, \(f_n(0) = 1\) pour tout n.

Pour x > 0, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} (1 + nx) = +\infty\) donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\) .

Donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(0) = 1\) et, pour x > 0, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\).

La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R_+}\) vers la fonction f définie par f(0) = 1 et, pour x > 0 , f (x )=0 .