Exercice 5

Partie

Question

Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f_n\)) définies sur \(\mathbb{R_+}\) par :

\(f_n(x) = \frac{x^2}{1 + nx^2}\)

Aide simple

Penser au cas x = 0.

Solution détaillée

Pour tout n, \(f_n\) est définie sur \(\mathbb{R_+}\) .

Pour x = 0, \(f_n(0) = 0\) pour tout n.

Pour x > 0, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} (1 + nx^2) = +\infty\) donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\)

On a donc, dans tous les cas, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\) .

La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R_+}\) vers \(\tilde{0}\) .