Exercice 4
Partie
Question
Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\( f_n\) ) définies sur \(\mathbb{R_+}\) par :
\(f_n(x) = \frac{nx^2}{1 + nx}\)
Aide simple
Penser au cas x = 0.
Solution détaillée
Pour tout n, ,\(f_n\) est définie sur \(\mathbb{R_+}\) .
Pour tout n, \(f_n(0) = 0\).
Pour x\(\neq\)0, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{nx^2}{nx}= x\) .
On a donc, dans tous les cas, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x)= x\) .
La suite (\(f_n\) ) converge simplement sur \(\mathbb{R_+}\) vers la fonction x \(\rightarrow\) x .