Exercice 11

Partie

Question

Soit la suite (\(f_n\)) de fonctions définies sur \(\mathbb{R_+}\) par \(f_n(x) = \frac{x^n}{1 + x^n}\)

Etudier la convergence simple de (\(f_n\)) sur \(\mathbb{R_+}\) .

Aide simple

Penser à distinguer 0 \(\leqslant\) x < 1, x = 1, 1 < x.

Solution détaillée
  • 0 \(\leqslant\) x < 1 :

alors \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^x = 0\) donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\)

  • x = 1 :

alors, pour tout n,\(f_n(1) = \frac{1}{2}\) donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) =\frac{1}{2}\)

  • 1 < x :

alors \(f_n(x) = 1- \frac{1}{1 + x^n}\) et, comme \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} x^n = +\infty\) , on en déduit que \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 1\) .

La suite (\(f_n\)) converge simplement sur \(\mathbb{R_+}\) vers la fonction f définie par \(\left \{ \begin{array}{cc} 0 \leqslant x < 1& f(x)=0 \\ x=1 & f(x)= \frac{1}{2} \\ 1 <x& f(x)=1 \end{array} \right.\)