Exercice 7
Partie
Question
Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (\(f _n\)) définies, pour n \(\geqslant\) 1, sur \(\mathbb{R_+}\) par \(f_n(x) = \frac{x}{x + n}\).
Aide simple
Penser au cas x = 0.
Solution détaillée
Pour tout n \(\geqslant\) 1, \(f_n\) est définie sur \(\mathbb{R_+}\) .
Pour x = 0, \(f_n(0) = 0\) pour tout n \(\geqslant\) 1.
Pour x > 0, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} (x + n) = +\infty\) donc \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x) = 0\) .
La suite ( \(f_n\) ) converge simplement sur \(\mathbb{R_+}\) vers \(\tilde{0}\) .