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Résolution d'un système X' = AX : Cas où la matrice A est diagonalisable, à valeurs propres toutes réelles
Définition

Dire que est diagonalisable signifie qu'il existe une matrice inversible et une matrice diagonale telle que l'on ait

Rappelons que les colonnes de sont formées des composantes d'une base de vecteurs propres, les éléments diagonaux correspondants de étant les valeurs propres associées.

L'idée est de ramener la résolution du système à celle d'un système U, où est diagonale.

Posons .

Puisque est une matrice constante, on a .

On trouve alors .

Or, puisque la matrice est diagonale, on sait résoudre le système (voir page précédente).

On revient aux solutions du système initial en utilisant la relation .

Règle : Pour résumer

Si est la solution générale de , la solution générale de est .

Remarque

Pour trouver la solution générale de , il faut trouver les matrices et , mais il n'est pas nécessaire de calculer la matrice .

Autre présentation de la solution générale

Il résulte facilement de ce qui précède que, si est une base de vecteurs propres de , le vecteur étant associé à la valeur propre , les fonctions forment une base de l'espace des solutions.

La solution générale de s'écrit donc

où les sont des constantes réelles.

Conditions initiales

Pour , la solution prend la valeur initiale . Autrement dit les constantes sont les composantes de la valeur initiale dans la base de vecteurs propres .

En fait, la condition initiale est en général donnée dans la base canonique, sous la forme

Les constantes peuvent se calculer par la formule de changement de base

Le calcul de peut donc être utile quand on veut imposer à la solution des conditions initiales données.

Dans la pratique, si on doit trouver une seule solution avec les conditions initiales (2) imposées, chercher les constantes telles que

revient à résoudre un système d'équations linéaires d'ordre (voir exemple).

Exemple : Exemple de résolution d'un système X' = AX, où la matrice A est diagonalisable

Soit à résoudre le système

La matrice a pour valeurs propres , , .

Des vecteurs propres correspondants sont

La solution générale du système s'écrit donc

On l'écrit plutot sous la forme :

Cherchons la solution vérifiant , , .

En faisant dans le système ci-dessus, on obtient le système (non différentiel)

En résolvant ce système linéaire, on trouve , , .

La solution cherchée est donc

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