Résolution d'un système X' = AX quand A admet des valeurs propres complexes et n'est pas diagonalisable
Puisque la matrice A est réelle, ce cas ne peut se produire qu'en dimension supérieure ou égale à 4.
Les calculs, dans ce cas, ne sont en général pas très agréables. Le mieux est de connaître la forme des solutions, et de procéder par identification pour trouver les relations entre les constantes qui y interviennent.
Nous allons donner, sans démonstration, la forme des composantes des solutions en dimension 4.
Cas où A possède deux valeurs complexes doubles conjuguées (et n'est pas diagonalisable)
Soient \(\alpha \pm i\beta\) ces valeurs propres.
Chaque composante \(x_i(t)\) de la solution est de la forme
\(x_i(t)=\textrm{exp}(\alpha t)[(A_it+B_i)\cos(\beta t)+(C_it+D_i)\sin(\beta t)]\)
Il y a à priori 16 constantes; en dérivant chaque \(x_i(t)\) et en remplaçant dans le système, on doit réduire leur nombre à 4, et calculer les autres en fonction de ces 4 là.
Bon courage !
Cas où A possède une valeur propre réelle double, et deux racines complexes conjuguées (et n'est pas diagonalisable)
Soient \(\lambda\) la valeur propre réelle, et \(\alpha \pm i\beta\) les valeurs propres complexes.
Chaque composante \(x_i(t)\) de la solution est de la forme
\((A_it+B_i)\textrm{exp}(\lambda t)+\textrm{exp}(\alpha t)[C_i\cos(\beta t)+D_i\sin(\beta t)]\)
Comme précédemment, il faut remplacer dans le système pour n'obtenir que 4 constantes arbitraires.