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Résolution d'un système linéaire réel X'=A X de dimension supérieure à 2 quand certaines valeurs propres ne sont pas réelles (cas diagonalisable)

Le système s'écrit

avec

La matrice du système étant réelle, ses valeurs propres sont soit réelles, soit complexes conjuguées deux à deux (de plus, si  et sont valeurs propres multiples, elles ont même ordre de multiplicité).

Supposons que A soit diagonalisable sur C.

Donnons la forme générale des solutions :

Proposition

Soient les valeurs propres réelles de et ses valeurs propres complexes deux à deux conjuguées (pas forcément distinctes).

Alors les composantes des solutions du système sont des combinaisons linéaires

  • des fonctions

  • des fonctions et

Remarque
  • On a . En particulier, si est impair (par exemple en dimension 3), la matrice possède au moins une valeur propre réelle

  • Les coefficients des fonctions , et dans les différentes composantes de la solution ne sont pas indépendants. Il faut reporter dans l'équation de départ pour trouver les relations qui les lient entre eux : la solution générale du système dépend de constantes arbitraires.

Démonstration : Idée de la démonstration

Appelons les vecteurs propres relatifs à et ceux relatifs à .Si on passe dans la base constituée des , des et des , on obtient un système qui se découple en p équations indépendantes et en q systèmes de dimension deux à valeurs propres complexes, traités à la page précédente.. Il suffit de repasser dans la base canonique pour obtenir la solution du système initial.

Exemple : Exemple de résolution d'un système X' = AX où A est une matrice réelle 3 X 3 possèdant des valeurs propres complexes

Soit à résoudre le système

Il s'écrit aussi X' = AX, avec

Les valeurs propres de A sont 1, et

Les composantes des solutions réelles sont donc des combinaisons linéaires des fonctions

Posons donc

En calculant et en l'identifiant avec , on trouve

En calculant maintenant et en l'identifiant avec , on trouve

Il ne reste que 3 constantes arbitraires, , et (qu'on renote , et ), ce qui fait le compte; on peut d'ailleurs vérifier qu'on a bien .

La solution générale du système s'écrit donc finalement

Remarque

Il est frappant de constater qu'un système si simple a une solution générale si compliquée.

Les solutions obtenues en faisant ont pour trajectoire une des demi droites issue de l'origine d'équation . C'est la demi-droite si A est positif, et la demi-droite   si est négatif.

Lorsque ou est non nul, la trajectoire s'enroule asymptotiquement autour d'une de ces demi-droites lorsque t tend vers l'infini positif.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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