Résolution d'un système linéaire réel X'=A X de dimension supérieure à 2 quand certaines valeurs propres ne sont pas réelles (cas diagonalisable)
Le système \(X' = A X\) s'écrit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ccc} x'_1 & = & a_{1,1}x_1+...+a_{1,n}x_n \\ \textrm{} & \vdots & \textrm{} \\ x'_n & = & a_{n,1}x_1+...+a_{n,n}x_n\end{array}\right.}\)
avec
\(\displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}a_{1,1} & ... & a_{1,n} \\ \vdots & \textrm{} & \vdots \\ a_{n,1} & ... & a_{n,n}\end{array}\right)}\)
La matrice \(A\) du système étant réelle, ses valeurs propres sont soit réelles, soit complexes conjuguées deux à deux (de plus, si \(\lambda\) et \(\lambda^-\) sont valeurs propres multiples, elles ont même ordre de multiplicité).
Supposons que A soit diagonalisable sur C.
Donnons la forme générale des solutions :
Proposition :
Soient \(\lambda_1,...,\lambda_p\) les valeurs propres réelles de \(A\) et \(\alpha_k \pm i\beta_k(k=1,...,q)\) ses valeurs propres complexes deux à deux conjuguées (pas forcément distinctes).
Alors les composantes \(x_j(t)(j=1,...,n)\) des solutions du système sont des combinaisons linéaires
des fonctions \(\textrm{exp}(\lambda_kt)(k=1,...,p)\)
des fonctions \(\textrm{exp}(\alpha_kt)\cos(\beta_kt)(k=1,...,q)\) et \(\textrm{exp}(\alpha_kt)\sin(\beta_kt)(k=1,...,q)\)
Remarque :
On a \(n = p + 2q\). En particulier, si \(n\) est impair (par exemple en dimension 3), la matrice possède au moins une valeur propre réelle
Les coefficients des fonctions \(\textrm{exp}(\lambda_kt)\) , \(\textrm{exp}(\alpha_kt)\cos(\beta_kt)\) et \(\textrm{exp}(\alpha_kt)\sin(\beta_kt)\) dans les différentes composantes de la solution ne sont pas indépendants. Il faut reporter dans l'équation de départ pour trouver les relations qui les lient entre eux : la solution générale du système dépend de \(n\) constantes arbitraires.
Démonstration : Idée de la démonstration
Appelons \(U_i\) les vecteurs propres relatifs à \(\lambda_i\) et \(V_{k\pm}W_k\) ceux relatifs à \(\alpha_k \pm i\beta_k\) .Si on passe dans la base constituée des \(U_i\) , des \(V_k\) et des \(W_k\) , on obtient un système qui se découple en p équations indépendantes et en q systèmes de dimension deux à valeurs propres complexes, traités à la page précédente.. Il suffit de repasser dans la base canonique pour obtenir la solution du système initial.
Exemple : Exemple de résolution d'un système X' = AX où A est une matrice réelle 3 X 3 possèdant des valeurs propres complexes
Soit à résoudre le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x'=y \\ y'=z \\ z'=x\end{array}\right.}\)
Il s'écrit aussi X' = AX, avec \(A = \displaystyle{\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)}\)
Les valeurs propres de A sont 1,\(j=-1/2+i\sqrt{3}/2\) et \(\bar j=-1/2-i\sqrt{3}/2\)
Les composantes des solutions réelles sont donc des combinaisons linéaires des fonctions
\(\textrm{exp}(t),\textrm{exp}(-t/2)\cos(\frac{\sqrt{3}}{2t}),\textrm{exp}(-t/2)\sin(\frac{\sqrt{3}}{2t})\)
Posons donc
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x(t)=A_1\textrm{exp}(t)+B_1\textrm{exp}(-t/2)\cos(\frac{\sqrt{3}}{2t})+C_1\textrm{exp}(-t/2)\sin(\frac{\sqrt{3}}{2t}) \\ y(t)=A_2\textrm{exp}(t)+B_2\textrm{exp}(-t/2)\cos(\frac{\sqrt{3}}{2t})+C_2\textrm{exp}(-t/2)\sin(\frac{\sqrt{3}}{2t}) \\ z(t)=A_3\textrm{exp}(t)+B_3\textrm{exp}(-t/2)\cos(\frac{\sqrt{3}}{2t})+C_3\textrm{exp}(-t/2)\sin(\frac{\sqrt{3}}{2t})\end{array}\right.}\)
En calculant \(z'(t)\) et en l'identifiant avec \(x(t)\), on trouve
\(A_3=A_1,B_3=-1/2(B_1+\sqrt{3}C_1),C_3=1/2(\sqrt{3}B_1)-C_1\)
En calculant maintenant \(y'(t)\) et en l'identifiant avec \(z(t)\), on trouve
\(A_2=A_1,B_2=-1/2(B_1+\sqrt{3}C_1),C_2=-1/2(\sqrt{3}B_1)+C_1\)
Il ne reste que 3 constantes arbitraires, \(A_1\), \(B_1\) et \(C_1\) (qu'on renote \(A\), \(B\) et \(C\)), ce qui fait le compte; on peut d'ailleurs vérifier qu'on a bien \(x'(t) = z(t)\).
La solution générale du système s'écrit donc finalement
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}x(t)=A\textrm{exp}(t)+\textrm{exp}(-t/2)[B\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+C\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)] \\ y(t)=A\textrm{exp}(t)+1/2\textrm{exp}(-t/2)[(-B+\sqrt{3}C)\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)-(\sqrt{3}B+C))\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)] \\ z(t)=A\textrm{exp}(t)+1/2\textrm{exp}(-t/2)[(-(B+\sqrt{3}C))\cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)+(\sqrt{3}B-C)\sin(\frac{\sqrt{3}}{2}t)]\end{array}\right.}\)
Remarque :
Il est frappant de constater qu'un système si simple a une solution générale si compliquée.
Les solutions obtenues en faisant \(B = C = 0\) ont pour trajectoire une des demi droites issue de l'origine d'équation \(x = y = z\) . C'est la demi-droite \(x = y = z > 0\) si A est positif, et la demi-droite \(x = y = z < 0\) si \(A\) est négatif.
Lorsque \(B\) ou \(C\) est non nul, la trajectoire s'enroule asymptotiquement autour d'une de ces demi-droites lorsque t tend vers l'infini positif.